高一数学《直线的点斜式方程》教学反思

这里小编给大家分享一些高一数学《直线的点斜式方程》教学反思，本文共12篇，方便大家学习。

本节课是直线方程的'起始课，也是解析几何思想方法的初步渗透。我采用“问题导学”的教学方式，逐步引导学生推导、理解知识，并经历了知识的生成过程及其中蕴含的思想方法。整节课始终将学生放在主体地位，具体体现在以下几个方面：

1.学案设计，利于学生能力提高

学案设计以学生的已有知识为出发点，阶梯式上升，使学生逐步推导、理解所学知识；对于比较难的问题，采用由特殊到一般的思想，利于学生理解与归纳总结。例如：在解析“直线上的点与方程的解之间的对应关系”时，采用比较方程与的方法。

2.学生参与，突出学生主体地位

整节课将主动权交给了学生，给了学生充足的空间，让学生充分展示他们的学习成果、思想、方法，课堂中适时穿插学生的讲解、板书、口答，学生间的互评，以及小组交流活动，而她只作为一个引导者，适时纠正学生的错误，规范学生的表述，引导着整节课的进程。

3.巧用信息技术，突破知识难点

《几何画板》的应用不仅帮助学生直观形象地理解了“过定点的直线系与平行直线系”这一难点，也为本节课增色不少。

4.教学的遗憾之处（分析与对策）

①公式的推导过程中对学生而言，无论是参与的广度还是深度均严重不足，教学仍然停留于教师的主体。缺少了公式形成的亲身体验，无疑对公式理解欠缺深刻。

②公式的应用，忙于从一般到特殊，不仅可以巩固公式，更重要的是加深对公式内涵的理解，同时思维及能力也相应得到发展及提高。由于课本上大多数例题比较简单，加之课时紧张，导致自己的例题教学环节无法到位，也影响了公式教学的效果。

③由于时间原因，在后面的教学中，加快了课堂进度，导致不少学生出现学习的障碍。

④在知识结构优化及总结方面有所欠缺。

从学生角度而言，大多数学生普遍反映：相对立体几何而言，平面解析几何的学习是轻松的、容易的。同时，这章公式特别多，加之后面内容较抽象，难度有所增加，进而给学习带来了挑战及困惑。直面公式，不少学生仍然采用的是传统的学习方式：死记硬背，机械模仿，导致在解题中往往碰壁而影响了学习兴趣及积极性。另外，尽管用代数方法研究几何思路清晰，可以充分运用各种公式解题，解题方法自然。但是，代数方法一个致命的弱点就是“运算量大，解题过程繁琐，结果容易出错”等等，无疑也影响了解题的质量及效率。

一、教材依据

本节课是北师大版数学(必修2)第二章《解析几何初步》第一节《1.2直线的方程》第一部分《直线方程的点斜式》内容。

二、教材分析

直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。从初中代数中的一次函数引入，自然过渡到本节课想要解决的问题——求直线方程问题。在引入，过程中要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程和方程的特征入手。

在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线方程。

三、教学目标

知识与技能：(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;

(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。

过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

情态与价值观：通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

四、教学重点

重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

五、教学难点

难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生分析描述几何图形。

六、教学准备

1.教学方法的选择：启发、引导、讨论.

创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。

2.通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想;学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题与几何问题间的密切联系。为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：

①.让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。

②.分组讨论。

七、教学过程

直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。

本节课的基本题形：1、已知直线上一点及直线的倾斜角，求直线的方程并作图;2、已知直线上两点，求直线的方程并作图。教学时应注意让学生明确直线的倾斜角与斜率的关系，掌握过两点的直线的斜率公式，训练学生求直线方程的书写格式及直线的规范作图。

高一下册数学格式直线的方程教学计划

【教学目标】

知识与技能目标

(1)了解直线的方程和方程的直线的概念.

(2)理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.

(3)掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.

过程与方法目标

(1)引导学生进行数学阅读，激发学生阅读的动机和兴趣，指导学生掌握数学阅读的方法，循序渐进，使学生从愿读转变到会读，最后上升为乐读.培养学生独立获取知识的自学能力.

(2)初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力.

情感、态度与价值观目标

通过学生的主动参与，师生、生生的'合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.

【教学重点和难点】

重点：理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式.

难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系

【教法与学法】

教法上本着教是为了不教的教学思想，主要采用阅读探究式教学方法。通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力.

同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率.

¤知识要点：

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y?y0?k(x?x0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y?kx?b.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x?x0?0，或x?x0. 4. 注意：

y?y0

?k与y?y0?k(x?x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点x?x0

P0(x0,y0)，后者才是整条直线.

¤例题精讲：

【例1】写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点A(2,5)，斜率是4； （2）经过点B(3,?1)，倾斜角是30.

【例2】已知直线y?kx?3k?1.（1）求直线恒经过的定点；（2）当?3?x?3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l经过点P(?5,?4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

¤知识要点：

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

y?y1x?x1

?， y2?y1x2?x1

2. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为?

xay

?1. b

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段P1P2中点坐标公式(¤例题精讲：

【例1】已知△ABC顶点为A(2,8),B(?4,0),C(6,0)，求过点B且

将△ABC面积平分的直线方程.

【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程

¤知识要点：

1. 一般式：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程

Ax?By?C?0(B?0)化为斜截式方程y??

x1?x2y1?y2

,). 22

AAC

x?，表示斜率为?，y轴上截距

BBB

为?

C

的直线. B

2 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为Ax?By?C'?0；与直

线Ax?By?C?0垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C'?0. 过点P(x0,y0)的直线可写为A(x?x0)?B(y?y0)?0.

经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(x?x0)?B(y?y0)?0； 经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是B(x?x0)?A(y?y0)?0.

3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x?B1y?C1?0（A1,B1不同时为0），l2:A?C?0（A2,B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： 2x?2By2

（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0； （2）l1//l2?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （3）l1与l2重合?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （4）l1与l2相交?A1B2?A2B1?0.

如果A2B2C2?0时，则l1//l2?相交?

A1B1

?

. A2B2

A1B1C1ABC??；l1与l2重合?1?1?1；l1与l2A2B2C2A2B2C2

¤例题精讲：

【例1】已知直线l1：x?my?2m?2?0，l2：mx?y?1?m?0，问m为何值时：（1）l1?l2；（2）l1//l2.

【例2】（1）求经过点A(3,2)且与直线4x?y?2?0平行的直线方程；（2）求经过点B(3,0)且与直线2x?y?5?0垂直的直线方程.

【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式A(x?x0)?B(y?y0)?0而直接写出方程，即3(x?1)?4(y?3)?0，再化简而得.

两条直线的交点坐标

¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组

?A1x?B1y?C1?0

. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；?

Ax?By?C?0?222

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程?(A1x?B1y?C1)?(A2x?B2y?C2)?0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: nx?y?n?1, l2: ny?x?2n.

【例2】求经过两条直线2x?y?8?0和x?2y?1?0的交点，且平行于直线4x?3y?7?0的直线方程.

两点间的距离

两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则两点间的距离为：

.

特别地，当P1,P2所在直线与x轴平行时，|PP1,P2所在直线与y轴12|?|x1?x2|

；当P

平行时，|PP1,P2在直线y?kx?b上时，|PP12|?|y1?y2|；当P12|?x1?x2|. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

¤例题精讲：

【例1】在直线2x?y?0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程.

【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2＋|AC|2=2（|AO|2＋|OC|2）.

点到直线的距离及两平行线距离

¤知识要点：1. 点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离公式为

d?

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线l1:Ax?By?C1?0，

l2:Ax?By?C2?0之间的距离公式d?

，推导过程为：在直线l2上任取一

y?C0，即A

xy??C点P(x0,y0)，则Ax0?B02?

0?B02. 这时点P(x0,y0)到直线l1:Ax?By?C1?0的距离为d?

?

.

¤例题精讲：

【例1】求过直线l1:y??x?

1310

和l2:3x?y?0的交点并且与原点相距为1的直线3

l的方程.

【例2】在函数y?4x2的图象上求一点P，使P到直线y?4x?5的`距离最短，并求这个最短的距离.

圆的标准方程

¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.

2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点A(1,?1)、B(?1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点A(?2,0)，圆心在(3,?2)；（2）圆心在直线2x?y?7?0上的圆C与y轴交于两点A(0,?4),B(0,?2)

圆的一般方程

¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 （D2?E2?4F?0）表示圆心是(?,?

)D2

E2

. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标(x,y)满足的关系式.

¤例题精讲：

【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.

【例2】设方程x2?y2?2(m?3)x?2(1?4m2)y?16m4?7m2?9?0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.

直线与圆的位置关系

¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；

方法二：利用圆心（a,b）到直线Ax?By?C?

0的距离d?

，比较d

与r的大小.

（1）相交?d?r? ??0；（2）相切?d?r???0；（3）相离?d?r???0. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式

1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值

【例2】求直线l:2x?y?2?0被圆C:(x?3)2?y2?9所截得的弦长.

圆与圆的位置关系

¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，则：

（1）两圆相交?|r1?r2|?|O1O2|?r1?r2；（2）两圆外切?|O1O2|?r1?r2；（3）两圆内切?|O1O2|?|r1?r2|； ¤例题精讲：【例1】已知圆C1：x2?y2?6x?6?0①，圆C2：x2?y2?4y?6?0② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.

【例2】求经过两圆x2?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程.

课后练习一、选择题

1．设直线ax?by?c?0的倾斜角为?，且sin??cos??0， 则a,b满足（ ） A．a?b?1

B．a?b?1

C．a?b?0

D．a?b?0

2．过点P(?1,3)且垂直于直线x?2y?3?0 的直线方程为（ ）

A．2x?y?1?0 B．2x?y?5?0 C．x?2y?5?0 D．x?2y?7?0 3．已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，

则m的值为（ ）

A．0 B．?8 C．2 D．10

4．已知ab?0,bc?0，则直线ax?by?c通过（ ）

A第一二三象限 B第一二四象限 C第一三四象限 D．第二三四象限 5．直线x?1的倾斜角和斜率分别是（ ） A．450,1

B．1350,?1 C．900，不存在 D．1800，不存在

6若方程(2m2?m?3)x?(m2?m)y?4m?1?0表示一条直线，则实数m满足（ ） A．m?0 B．m??二、填空题

1．点P(1,?1) 到直线x?y?1?0的距离是________________.

2．已知直线l1:y?2x?3,若l2与l1关于y轴对称，则l2的方程为__________; 若l3与l1关于x轴对称，则l3的方程为_________; 若l4与l1关于y?x对称，则l4的方程为___________;

3．若原点在直线l上的射影为(2,?1)，则l的方程为____________________。 4．点P(x,y)在直线x?y?4?0上，则x2?y2的最小值是________________. 5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为

B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为________________。

33

C．m?1 D．m?1，m??，m?0 22

三、解答题

1．已知直线Ax?By?C?0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴；

（5）设P?x0，y0?为直线Ax?By?C?0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A?x?x0??B?y?y0??0．

2．求经过直线l1:2x?3y?5?0,l2:3x?2y?3?0的交点且平行于直线

3．经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

4．过点A(?5,?4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面

积为5．

一、内容及其解析

1、内容：这是一节建立直线的点斜式方程（斜截式方程）的概念课。学生在此之前已学习了在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素，已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线，已知两点也可以确定一条直线。本节要求利用确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角，建立直线方程，通过方程研究直线。

2、解析：直线方程属于解析几何的基础知识，是研究解析几何的开始。从整体来看，直线方程初步体现了解析几何的实质用代数的知识研究几何问题。从集合与对应的角度构建了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系，是学习解析几何的基础。对后续圆、直线与圆的位置关系等内容的学习，无论是知识上还是方法上都有着积极的意义。从本节来看，学生对直线既是熟悉的，又是陌生的。熟悉是学生知道一次函数的图像是直线，陌生是用解析几何的方法求直线的方程。直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位。

二、目标及其解析

1、目标

掌握直线的点斜式和斜截式方程的推导过程，并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程。

2、解析

①知道直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率。知道建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来。

②理解建立直线点斜式方程就是用直线上任意一点与已知点这两个点的坐标表示斜率。

③经历直线的点斜式方程的推导过程，体会直线和直线方程之间的关系，渗透解析几何的基本思想。

④在讨论直线的点斜式方程的应用条件与建立直线的斜截式方程中，体会分类讨论的思想，体会特殊与一般思想。

⑤在建立直线方程的过程中，体会数形结合思想。在直线的斜截式方程与一次函数的比较中，体会两者区别与联系，特别是体会两者数形结合的区别，进一步体会解析几何的'基本思想。

三、教学问题诊断分析

1、学生在初中已经学习了一次函数，知道一次函数的图像是一条直线，因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑，产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何，不明确解析几何的实质，因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别。

2、学生能听懂建立直线的点斜式的过程，但可能会不知道为什么要这么做。因此还是要跟学生讲清坐标法的实质把几何问题转化成代数问题，用代数运算研究几何图形性质。

3、由于学生没有学习曲线与方程，因此学生难以理解直线与直线的方程，甚至认为验证直线是方程的直线是多余的。这里让学生初步理解就行，随着后面教学的深入和反复渗透，学生会逐步理解的。

四、教法与学法分析

1、教法分析

新课标指出，学生是教学的主体。教师要以学生活动为主线。在原有知识的基础上，构建新的知识体系。本节课可采用启发式问题教学法教学。通过问题串，启发学生自主探究来达到对知识的发现和接受。通过纵向挖掘知识的深度，横向加强知识间的联系，培养学生的创新精神。并且使学生的有效思维量加大，随着对新知识和方法产生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行，使学生在解决问题的同时，形成方法。

2、学法分析

改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不仅仅限于对概念结论和技能的记忆、模仿和积累。独立思考，自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造的过程。为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件。以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。

通过直线的点斜式方程的推导，加深对用坐标求方程的理解；通过求直线的点斜式方程，理解一个点和方向可以确定一条直线；通过求直线的斜截式方程，熟悉用待定系数法求的过程，让学生利用图形直观启迪思维，实现从感性认识到理性思维质的飞跃。让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

五、教学过程设计

问题1：在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素是什么？如何将这些几何要素代数化？

[设计意图]让学生理解直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率。

问题2：建立直线方程的实质是什么？

[设计意图]建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来。也就是将直线上点的坐标满足的条件用方程表示出来。

引例：若直线经过点，斜率为，点在直线上运动，那么点的坐标满足什么条件？

[设计意图]让学生通过具体例子经历求直线的点斜式方程的过程，初步了解求直线方程的步骤。

问题2.1要得到坐标满足什么条件，就是找出与、斜率为之间的关系，它们之间有何种关系？

（过与两点的直线的斜率为）

[设计意图]让学生寻找确定直线的条件，体会动中找静。

问题2.2如何将上述条件用代数形式表示出来？

[设计意图]让学生理解和体会用坐标表示确定直线的条件。

用代数式表示出来就是，即。

问题2.3为什么说是满足条件的直线方程？

[设计意图]让学生初步感受直线与直线方程的关系。

此时的坐标也满足此方程。所以当点在直线上运动时，其坐标满足。

另外以方程的解为坐标的点也在直线上。

所以我们得到经过点，斜率为的直线方程是。

问题2.4：能否说方程是经过，斜率为的直线方程？

[设计意图]让学生初步感受直线（曲线）方程的完备性。尽管学生不可能深刻理解直线（曲线）方程的完备性，但在这里仍要渗透，为后因理解曲线方程的埋下伏笔。

问题3：推广：已知一直线过一定点，且斜率为k，怎样求直线的方程？

[设计意图]由特殊到一般的学习思路，培养学生的是归纳概括能力。

问题4：直线上有无数个点，如何才能选取所有的点？以前学习中有没有类似的处理问题的方法？

[设计意图]引导学生掌握解析几何取点的方法。

引导学生求出直线的点斜式方程

注：在求直线方程的过程中要说明直线上的点的坐标满足方程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，即方程的解与直线上的点的坐标是一一对应的。为以后学习曲线与方程打好基础。教学中让学生感觉到这一点就可以。不必做过多解释。

问题5：从求直线方程的过程中，你知道了求几何图形的方程的步骤有哪些吗？

[设计意图]让学生初步感受解析几何求曲线方程的步骤。

①设点———用表示曲线上任一点的坐标；

②寻找条件————写出适合条件；

③列出方程————用坐标表示条件，列出方程

④化简———化方程为最简形式；

⑤证明————证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

例1分别求经过点，且满足下列条件的直线的方程，并画出直线。

⑴倾斜角

⑵斜率

⑶与轴平行；

⑷与轴平行。

[设计意图]让学生掌握直线的点斜式的使用条件，把直线的点斜式方程作公式用，让学生熟练掌握直线的点斜式方程，并理解直线的点斜式方程使用条件。

注：⑴应用直线的点斜式方程的条件是：①定点，②斜率存在，即直线的倾斜角。

⑵与的区别。后者表示过，且斜率为k的直线方程，而前者不包括。

⑶当直线的倾斜角时，直线的斜率，直线方程是。

⑷当直线的倾斜角时，此时不能直线的点斜式方程表示直线，直线方程是。

练习：

已知直线的方程是，则直线的斜率为，倾斜角为，这条直线经过的一个已知点为。

[设计意图]在直线的点斜式方程的逆用过程中，进一步体会和理解直线的点斜式方程。

问题6：特别地，如果直线的斜率为，且与轴的交点坐标为（0，b），求直线的方程。

[设计意图]由一般到特殊，培养学生的推理能力，同时引出截距的概念和直线斜截式方程。

将斜率与定点代入点斜式直线方程可得：

说明：我们把直线与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。这个方程是由直线的斜率与它在y轴上的截距b确定，所以叫做直线的斜截式方程。

注（1）截距可取任意实数，它不同于距离。直线在轴上截距的是。

（2）斜截式方程中的k和b有明显的几何意义。

（3）斜截式方程的使用范围和斜截式一样。

问题7：直线的斜截式方程与我们学过的一次函数的类似。我们知道，一次函数的图像是一条直线。你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中k和b的几何意义是什么？

[设计意图]让学生理解直线方程与一次函数的区别与联系，进一步理解解析几何的实质。函数图像是以形助数，而解析几何是以数论形。

关于直线的两点式方程教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围;(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的.特点。

3、情态与价值观：(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;(2)培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

1、重点：直线方程两点式。2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学方法：

启发、引导、讨论.

四、教学过程

问 题 设计意图 师生活动

1、利用点斜式解答如下问题：

(1)已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.

(2)已知两点 其中 ，求通过这两点的直线方程。 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件?能不能把问题转化为已经解决的问题呢?在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

(1)

(2)

教师指出：当 时，方程可以写成

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式(two-point form).

2、若点 中有 ，或 ，此时这两点的直线方程是什么?

使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当 时，直线与 轴垂直，所以直线方程为： ;当 时，直线与 轴垂直，直线方程为： 。

问 题 设计意图 师生活动

3、例3 教学

已知直线 与 轴的交点为A ，与 轴的交点为B ，其中 ，求直线 的方程。

使学生学会用两点式求直线方程;理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点?可以用多少方法来求直线 的方程?那种方法更为简捷?然后由求出直线方程：

教师指出： 的几何意义和截距式方程的概念。

4、例4教学

已知三角形的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。 教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

高一下册数学直线的方程教学计划

一、内容及其解析

1。内容：这是一节建立直线的点斜式方程（斜截式方程）的概念课。学生在此之前已学习了在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素，已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线，已知两点也可以确定一条直线。本节要求利用确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角，建立直线方程，通过方程研究直线。

2。解析：直线方程属于解析几何的基础知识，是研究解析几何的开始。从整体来看，直线方程初步体现了解析几何的实质用代数的知识研究几何问题。从集合与对应的角度构建了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系，是学习解析几何的基础。对后续圆、直线与圆的位置关系等内容的学习，无论是知识上还是方法上都有着积极的意义。从本节来看，学生对直线既是熟悉的，又是陌生的。熟悉是学生知道一次函数的图像是直线，陌生是用解析几何的方法求直线的方程。直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位。

二、目标及其解析

1。目标

掌握直线的点斜式和斜截式方程的推导过程，并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程。

2。解析

①知道直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率。知道建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来。

②理解建立直线点斜式方程就是用直线上任意一点与已知点这两个点的坐标表示斜率。

③经历直线的点斜式方程的推导过程，体会直线和直线方程之间的关系，渗透解析几何的基本思想。

④在讨论直线的点斜式方程的应用条件与建立直线的斜截式方程中，体会分类讨论的思想，体会特殊与一般思想。

⑤在建立直线方程的过程中，体会数形结合思想。在直线的斜截式方程与一次函数的比较中，体会两者区别与联系，特别是体会两者数形结合的区别，进一步体会解析几何的基本思想。

三、教学问题诊断分析

1。学生在初中已经学习了一次函数，知道一次函数的图像是一条直线，因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑，产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何，不明确解析几何的实质，因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别。

2。学生能听懂建立直线的点斜式的过程，但可能会不知道为什么要这么做。因此还是要跟学生讲清坐标法的实质把几何问题转化成代数问题，用代数运算研究几何图形性质。

3。由于学生没有学习曲线与方程，因此学生难以理解直线与直线的方程，甚至认为验证直线是方程的直线是多余的。这里让学生初步理解就行，随着后面教学的深入和反复渗透，学生会逐步理解的。

四、教法与学法分析

1、教法分析

新课标指出，学生是教学的主体。教师要以学生活动为主线。在原有知识的基础上，构建新的知识体系。本节课可采用启发式问题教学法教学。通过问题串，启发学生自主探究来达到对知识的发现和接受。通过纵向挖掘知识的深度，横向加强知识间的联系，培养学生的创新精神。并且使学生的有效思维量加大，随着对新知识和方法产生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行，使学生在解决问题的同时，形成方法。

2、学法分析

改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不仅仅限于对概念结论和技能的记忆、模仿和积累。独立思考，自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造的过程。为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件。以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。

通过直线的点斜式方程的推导，加深对用坐标求方程的理解；通过求直线的点斜式方程，理解一个点和方向可以确定一条直线；通过求直线的斜截式方程，熟悉用待定系数法求的过程，让学生利用图形直观启迪思维，实现从感性认识到理性思维质的飞跃。让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

五、教学过程设计

问题1：在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素是什么？如何将这些几何要素代数化？

[设计意图]让学生理解直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率。

问题2：建立直线方程的实质是什么？

[设计意图]建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来。也就是将直线上点的坐标满足的条件用方程表示出来。

引例：若直线经过点，斜率为，点在直线上运动，那么点的坐标满足什么条件？

[设计意图]让学生通过具体例子经历求直线的点斜式方程的过程，初步了解求直线方程的步骤。

问题2。1要得到坐标满足什么条件，就是找出与、斜率为之间的关系，它们之间有何种关系？

（过与两点的直线的斜率为）

[设计意图]让学生寻找确定直线的条件，体会动中找静。

问题2。2如何将上述条件用代数形式表示出来？

[设计意图]让学生理解和体会用坐标表示确定直线的条件。

用代数式表示出来就是，即。

问题2。3为什么说是满足条件的直线方程？

[设计意图]让学生初步感受直线与直线方程的关系。

此时的'坐标也满足此方程。所以当点在直线上运动时，其坐标满足。

另外以方程的解为坐标的点也在直线上。

所以我们得到经过点，斜率为的直线方程是。

问题2。4：能否说方程是经过，斜率为的直线方程？

[设计意图]让学生初步感受直线（曲线）方程的完备性。尽管学生不可能深刻理解直线（曲线）方程的完备性，但在这里仍要渗透，为后因理解曲线方程的埋下伏笔。

问题3：推广：已知一直线过一定点，且斜率为k，怎样求直线的方程？

[设计意图]由特殊到一般的学习思路，培养学生的是归纳概括能力。

问题4：直线上有无数个点，如何才能选取所有的点？以前学习中有没有类似的处理问题的方法？

[设计意图]引导学生掌握解析几何取点的方法。

引导学生求出直线的点斜式方程

注：在求直线方程的过程中要说明直线上的点的坐标满足方程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，即方程的解与直线上的点的坐标是一一对应的。为以后学习曲线与方程打好基础。教学中让学生感觉到这一点就可以。不必做过多解释。

问题5：从求直线方程的过程中，你知道了求几何图形的方程的步骤有哪些吗？

[设计意图]让学生初步感受解析几何求曲线方程的步骤。

①设点———用表示曲线上任一点的坐标；

②寻找条件————写出适合条件；

③列出方程————用坐标表示条件，列出方程

④化简———化方程为最简形式；

⑤证明————证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

例1分别求经过点，且满足下列条件的直线的方程，并画出直线。

⑴倾斜角

⑵斜率

⑶与轴平行；

⑷与轴平行。

[设计意图]让学生掌握直线的点斜式的使用条件，把直线的点斜式方程作公式用，让学生熟练掌握直线的点斜式方程，并理解直线的点斜式方程使用条件。

注：⑴应用直线的点斜式方程的条件是：①定点，②斜率存在，即直线的倾斜角。

⑵与的区别。后者表示过，且斜率为k的直线方程，而前者不包括。

⑶当直线的倾斜角时，直线的斜率，直线方程是。

⑷当直线的倾斜角时，此时不能直线的点斜式方程表示直线，直线方程是。

练习：1。。

2。已知直线的方程是，则直线的斜率为，倾斜角为，这条直线经过的一个已知点为。

[设计意图]在直线的点斜式方程的逆用过程中，进一步体会和理解直线的点斜式方程。

问题6：特别地，如果直线的斜率为，且与轴的交点坐标为（0，b），求直线的方程。

[设计意图]由一般到特殊，培养学生的推理能力，同时引出截距的概念和直线斜截式方程。

将斜率与定点代入点斜式直线方程可得：

说明：我们把直线与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。这个方程是由直线的斜率与它在y轴上的截距b确定，所以叫做直线的斜截式方程。

注（1）截距可取任意实数，它不同于距离。直线在轴上截距的是。

（2）斜截式方程中的k和b有明显的几何意义。

（3）斜截式方程的使用范围和斜截式一样。

问题7：直线的斜截式方程与我们学过的一次函数的类似。我们知道，一次函数的图像是一条直线。你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中k和b的几何意义是什么？

[设计意图]让学生理解直线方程与一次函数的区别与联系，进一步理解解析几何的实质。函数图像是以形助数，而解析几何是以数论形。

练习：1。。

2。直线的斜率为2，在轴上的截距为，求直线的方程。

[设计意图]让学生明确截距的含义。

3。直线过点，它的斜率与直线的斜率相等，求直线的方程。

[设计意图]让学生进一步理解直线斜截式方程的结构特征。

4。已知直线过两点和，求直线的方程。

[设计意图]让学生能合理选择直线方程的不同形式求直线方程，同时为下节学习直线的两点式方程埋下伏笔。

例2：已知直线，试讨论

（1）与平行的条件是什么？

（2）与重合的条件是什么？

（3）与垂直的条件是什么？

说明：①平行、重合、垂直都是几何上位置关系，如何用代数的数量关系来刻画。

②教学中从两个方面来说明，若两直线平行，则且反过来，若且，则两直线平行。

③若直线的斜率不存在，与之平行、垂直的条件分别是什么？

练习：

问题8：本节课你有哪些收获？

要点：

（1）直线方程的点斜式、斜截式的命名都是顾名思义的，要会加以区别。

（2）两种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用。

总结：制定教学计划的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。

《直线与方程》知识点整理

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是 .

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点 ，则有斜率公式 . 特别地是，当 ， 时，直线与x轴垂直，斜率k不存在;当 ， 时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0;当 时，斜率 ，随着α的增大，斜率k也增大;当 时，斜率 ，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为 、，有：

(1) ? ;(2) ? .

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴;….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为k，其方程为 .

2. 斜截式：直线 的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为 .

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线 过点 且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 .

4. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 ，后者才是整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线 经过两点 ，其方程为 ，

2. 截距式：直线 在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为 .

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段 中点坐标公式 .

直线的一般式方程

1. 一般式： ，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程 化为斜截式方程 ，表示斜率为 ，y轴上截距为 的直线.

2 与直线平行的直线，可设所求方程为 ;与直线 垂直的直线，可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 .

经过点 ，且平行于直线l的直线方程是 ;

经过点 ，且垂直于直线l的直线方程是 .

3. 已知直线 的方程分别是： ( 不同时为0)， ( 不同时为0)，则两条直线的位置关系可以如下判别：

(1) ; (2) ;

(3) 与 重合 ; (4) 与 相交 .

如果 时，则 ; 与 重合 ; 与 相交 .

两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标;若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行;若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程 为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是 与 的交点.

两点间的距离

1.平面内两点 ， ，则两点间的距离为： .

特别地，当 所在直线与x轴平行时， ;当 所在直线与y轴平行时， ;当 在直线 上时， .

2. 坐标法解决问题的基本步骤是：(1)建立坐标系，用坐标表示有关量;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

一般式：Ax+By+C=0(AB≠0)

斜截式：y=kx+b(k是斜率b是x轴截距)

点斜式：y-y1=k(x-x1)(直线过定点(x1,y1))

两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)(直线过定点(x1,y1)，(x2,y2))

截距式：x/a+y/b=1(a是x轴截距,b是y轴截距)

做题过程中，点斜式和斜截式用的最多(两种合占90%以上)，一般式属于中间过渡形态。

在与圆及圆锥曲线结合的过程中，还要用到点到直线距离公式。

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