人教版约数和倍数教学设计

以下是小编收集整理的人教版约数和倍数教学设计，本文共16篇，仅供参考，希望对大家有所帮助。

教学内容：

苏教版教材第39-40页数的整除、约数和倍数、“练一练”，选用练习七的第4题和补充练习。

教学目标：

1、知识目标：使学生理解整除的意义，理清“除尽”和“整除”的关系；理解和掌握约数和倍数的意义，了解约数和倍数相互依存的关系。

2、能力目标：能判断一个数能否被第二个数整除，会根据约数和倍数的意义描述两个数之间的关系，培养学生根据信息进行分类、总结、概括的能力，培养学生会进行初步的观察、比较、分析、判断、概括的能力。

3、情感目标：渗透初步的辩证唯物主义思想教育；并通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。

教学重点：理解和掌握整除的意义、约数和倍数的意义。

教学难点：引导学生探索并理解约数和倍数之间的相互依存的关系。

教学过程（及设计意图）：

一、引入新课。

1、导入：同学们，今天吴老师想和同学们一起进一步学习有关除法算式的知识，好吗？你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。）

[学生的学习材料是自己寻找的，而不是教师或书本给定的材料，它们来源于学生自己，并从学生的已有知识经验出发，找准知识的生长点。这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于继续学习下去，而无须教师强迫学生学习。]

2、提出要求：你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。（学生思考，同桌讨论。）

3、（学生代表上台进行分类）汇报交流：你们认为他这样分类有道理吗？为什么？其他同学是怎么分类的？

二、教学新课。

（一）教学整除。

1、观察特点。

请同学们仔细观察黑板上3组除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？

[学生的分类，恰当地提供了学生学习新知的素材资源，使学生乐学、会学]

2、揭示概念。

①提问：第一组算式的被除数、除数、商有什么特点？（学生先思考后交流）

小结：被除数是整数、除数是整数，商是整数而且没有余数。

同时指出：当被除数、除数、商都是整数而且没有余数时，就是一个整除算式。

②追问：整除的算式有什么特点？你能再举出一些整除的算式吗？（学生举例）

设疑：整除的算式太多了，能想个办法把大家的整除算式概括成一个整除算式？

启发：请字母来帮帮忙。如果被除数用a表示，除数用b表示，商用c表示，可以怎么表示这个整除算式？

根据学生回答，板书：a÷b=c，追问：在这个整除算式中a、b、c 有什么特点？

③揭示：当a、b、c都是整数而且没有余数时就是一个整除的算式，我们就可以说： a能被b整除，b能整除a 。[板书：a ÷ b = c (b≠0) ]

举例说说。

[教师针对内容的特殊性，采用传统的教学方式，直接说明、学生模仿。不容忽视的是，有意义的接受性学习、记忆和模仿还是必要的。]

④追问：第二组、第三组算式为什么不是整除？那该叫什么呢？

引导学生发现并理清“除尽”和“整除”有什么关系？

如果用这样的图表示他们的关系，该怎样填写？

3、学会叙述。

①说明：按照a能被b整除的意义，在15÷3中（师指黑板上的第一组中一个），哪个数能被哪个数整除？还可以怎么说？

②谁来说说其他算式？

4、组织练习。

①口答“练一练”第1题。

提问：其他三个算式为什么不能说第一个数被第二个数整除？

请大家根据能整除的算式，说说每个算式里谁能被谁整除，谁能整除谁？

②下面四个数中谁能被谁整除？

2、3、6、12

[概念初步形成后，为了有效巩固，恰到好处增加了练习，练习题设计时，考虑到不同学生的发展，基础题后增加了开放题，这不仅激发了学生的学习兴趣，而且又加深了学生对整除的理解]

小结 、激励：（略）

（二）教学约数和倍数。

1、过渡：如果a能被b整除，b能整除a，其实a和b还有着很大的关系。

并揭示课题：倍数和约数

2、那到底什么是倍数和约数呢？指明学生读第39页的最后一段，

（学生看书后交流汇报。）

[针对该段内容的特点，教师提出问题，学生带着问题去自学，这样的学习，既体现了学生在课堂教学中的主体地位和作用，又培养了学生独立思考及自学能力。]

3、教师介绍说明：如果a能被b整除，b能整除a，那么我们就说a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。[接前面板书： a是b的倍数 b是a的约数]

4、举例说明：例如，15÷3，因为15能被3整除，我们就说：15是3的倍数，3是15的约数。（领学生说一遍）

生填书上练习。

判断：能不能说15是倍数，3是约数？

强调：表示两个数之间的关系，所以一定要说谁是谁的倍数，谁是谁的约数。他们是相互依存的。如果光说谁是倍数，或谁是约数是不完整的。

5、其他算式？这些算式能不能这样来说？必须在什么条件下？（整除）

6、火眼金睛：你认为哪些是对的，哪些是错的，错在哪儿？

(1)42÷6=7，所以42是6的倍数， 6是42的约数

(2) 42÷6=7，所以42是倍数，6是约数

(3)42÷9=4┄┄6，所以42是9的倍数，9是42的约数

(4)4.2÷0.6=7 ，所以4.2是0.6的.倍数，0.6是4.2的约数

(5)4.2÷0.6=7，所以4.2是0.6的7倍。

通过检测，你对倍数和约数有什么新的认识？

[通过以上的学习，学生明确了一个数是否是另一个数的倍数或约数时，必须是以整除为前提，约数和倍数是相互依存的概念，不能独立存在。此处的设计，在知识的重难点适时点拨，关键处启发，点有所通、导有所悟，突出了教学的重点。并且多次举正、反例，这样步步深入、层层推进，准确地把握了教学关键，最后突破难点。]

7、认识“任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数。”

出示：□÷1=□ 想一想：□里可以填怎样的数，它就能被1整除？

8、了解研究数的整除一般是指不包括0的自然数。

（学生自学第40页上面第二节）看了这一节，你了解到什么信息？

9、练习：①“练一练”第2题。

②做练习七的第4题。

三、小结收获。

通过今天的学习，你有什么收获呢？什么是数的整除？约数和倍数的意义是什么？你还想提什么问题？

[让学生总结本节课学习的知识，并谈自己的收获，这个过程不仅是对本课内容回顾的必要环节，而且使学生加深了对知识的理解和掌握；诱发了学生的创造性思维，引发了学生的反思。学生的收获不仅只有知识，还包括能力、方法、情感等，学生体验到学习之乐，增强了学好数学的信心。]

四、练习拓展。

1、出示： 45 30 5 3 2

要求：选2个数字，用今天学到的知识来造个句。

2、填一填：看谁填得多！

①6÷( )=( )， 所以6是（ ）的倍数。

②（ ）÷1=（ ） （ ）是1的倍数，1是（ ）的约数。

③0÷（ ）=（ ）， （ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的约数。

3、猜一猜：

老师的年龄能被7整除，老师可能是多少岁？同时又是3的倍数？

4、找朋友游戏：

游戏准备：学生按座位顺序依次编号成连续的自然数。（课前）

游戏规则：老师出示一个数，看你卡片上的数是否符合老师说的以下条件，符合的请你举起你的卡片，你就是老师的好朋友，其他同学要注意观察，并给予正确的评判。

（1） 我是5，谁是我的约数？

（2） 我是5，谁是我的倍数？

（3） 我是24，我找我的约数？

（4） 我是2，我找我的倍数？

（5） 我是1，我是谁的约数？

[练习题设计时，考虑到不同的学生要有不同的发展，即有层次，又有坡度，形式又有多样。即重视基本知识的训练，同时还将知识性、趣味性有机地结合。学生兴趣盎然，思维敏捷，体会到数学知识本身的无穷魅力，体验到学习成功的无限喜悦。通过比较、判断、游戏等开放性练习，既巩固了知识，又使全体学生不同程度得到了发展，更是为后继学习埋下了一个伏笔。]

[教后反思]

素质教育和新课程改革的重要着眼点是改变学生的学习方式。这必须要以学生的发展为本，突出学生的主体地位，要改变学生在原有的教育教学条件下所形成的那种偏重于记忆和理解、立足于接受教师知识传输的学习方式，帮助学生形成一种主动探究知识、并重视解决实际问题的积极学习方式，这是一种有利于终身学习、发展学习的方式。为了倡导这种学习方式，笔者在设计约数和倍数的意义这一课时，采用了以问题为中心，在教师的指导下，让学生以合作交流、讨论、自学等形式主动地去获取知识、应用知识、解决问题，从而使学生的创新精神和探索意识的发展有了切实的落脚点。

综观整堂课，尽管内容枯燥抽象，而且内容较少，我力求：教师灌输得不多，而师生的启发对话多，学生之间合作交流多，学生自主学习多，教师只是一个组织者、引导着和参与者，努力让学生真正成为学习的主人，不仅积极参与每一个教学环节，切身去感受学习数学的快乐，品尝了成功的喜悦，而且尽量使不同的学生得到不同的发展，满足学生求知、参与、成功、交流和自尊的需要

《约数和倍数的意义》教学设计及反思

教学目标：

A类：

1、让学生理解整除、约数、倍数的概念

2、知道约数和倍数是以整除为前提，约数和倍数是相互依存的。

3、懂得求一个数的约数的方法，并归纳出一个数的约数是有限的。

B类：

1、找出整除与除尽的区别与联系。

2、区分倍与倍数的不同。

3、让学生能用所学知识解决实际数学问题。

教学重点：

结合具体事例，理解整除、约数、倍数的概念。

预习作业：

(预习教材50至51页的内容)

1、画出“预习”部分你觉得重要的句子。

2、2处理51页上面部分的“做一做”。

教学策略：

一、创设情景板块

(1)教师在黑板上出示一些习题，让学生口算。(只要是两个数相除的即可)当学生说出答案后，再让学生将所有试题进行分类。(学生可能会有若干分法，老师提取按照整除与不是整除的一类)当发现有学生的分法属于教学内容所需要的时候，老师再引导学生观察它们的区别，从而归纳出整除的概念：

整数A除以整数B(B不能为0)，所得的商是整数。就说，B能整除A,或A能被B整除。

(2)练习。35÷7=5.就可以怎么说?56÷8=7又可以怎么说?

(3)整除与除尽的区别在哪里?有联系吗?

(根据学生的回答，老师再做补充)

(4)练习。教材53页的第一题。

二、新知板块

(1) 约数和倍数的意义

35÷7=5.最全面的范文参考写作网站可以说成：35是7的倍数;7是35的约数。(说说练习)

归纳出概念：A÷B=C(它们都是整数,且B不能为0)。A是B的倍数;B是A的约数。(意义)

(2) 怎样判断约数与倍数

65是5的倍数吗?3是16的约数吗?

(归纳：约数与倍数必须有整除为前提)

(3) 约数与倍数的相互依存

32是倍数，12是约数，这样的说法对吗?为什么?

(4)如果有学生提起，就解释“倍”与“倍数”的关系。

倍：表示两个数的结果，如：12是3的4倍，即12÷3=4.

倍数：表示两个数之间的关系，如：8是2的倍数，表示的是8与2的关系。

(5)练习

教材53页的第二、三、四题。

三、预设板块

(1) 结合练习十一第四题展开教学。

60的约数：3;4;12;60.(第四题的答案)

(教师启发：60的约数还有吗?怎么求呢?)

举例：12的约数

12÷( )=一个整数。

12的约数：1;2;3;4;6;12.

问：这里面，思想汇报专题最大的约数是什么?最小的约数又是什么?

归纳：一个数最大的约数是它本身，最小的约数是1.它的约数的个数是有限的。

(2) 练习

完成教材51页中的“做一做”。根据教学的时间，再处理后面的练习。

四、复习板块

引导学生回顾本节课的一些重点概念，从而揭题：约数和倍数的意义。

课后的回顾与反思

本周数学组“有效课堂”交流的话题是我所执教的人教版五年级下册第三章《约数和倍数的意义》。在课前，我让学生预习了我所教学的内容，并让学生自主完成后面的做一做，将书中自认为重要的句子作了记号。(思考与困惑：在教学过程中我没有将预习与教学内容接轨，也没有找到很好的切入点，在议课的时候，有老师提到：这节课可以从检查学生的预习作业开始，根据预习的结果展开新的教学，我觉得是可取的。)

“请各位同学慎重回答我，有没有认为自己是笨蛋的?”这是我在课堂上说的第一句话。话音刚落，有的孩子脸上露出了笑容，但绝大多数孩子没有吱声，只有一个同学笑着说，有时觉得自己笨，范文写作我补充说，那说明你在多数情况下都是聪明的。他笑着点了点头，我便示意他坐下，然后接过话题说，从这里不难看出，我们班根本就不存在“笨蛋”，下面，老师出几个题考一考大家。接着，就在黑板上写下12÷4=;7÷2=;15÷2=;18÷2=。(思考与困惑：当时的导入可能被用去一分多钟，有老师提出这个环节没有必要，直接在黑板上出示题目就可以了，我根据课前的思考做了分析：主动认为自己是笨蛋的同学是很难找的，为了担心别人说自己是笨蛋，可能对老师提出的问题特别在意，同时，这样的问题也可以让孩子们觉得好奇而产生兴趣，如果有同学主动承认，我就从这个同学的话题进入主题，承认的同学成绩是优秀的，但又是调皮的，我就有意用一个题目难住他，刺激他一下，如果承认自己是“笨蛋”的那个同学是“问题”学生，是自卑的，内向的，我就可以用一个简单的除法算式去激励他。听了我的解释，该老师没有意见，但我不知道自己的看法是对还是错!)每出一个题目，我都根据学生已有基础来提问的，凡被我抽到的同学都顺利完成了题目。我就要求他们按照自己的理解进行分类，有一个孩子在说约数和倍数的概念，但在我的印象中，范文TOP100她只处于成绩中下的水平，我充耳不闻，(思考：我应该让她起来说说自己的看法，也许从她的表达中有更加新奇的东西)接着有个同学说将12÷4=3和18÷2=9分为一类，剩下的分为另一类，我便问了一个“为什么!”该生没能回答，此时，有一个同学说是整除，我又让他说了整除的概念，他的回答是：“商是整数的就可以说一个数被另外一个数整除”。我马上在黑板上写下0.6÷0.3=2，所以就可以说成是0.6能被0.3整除，该生反对并补充说：“被除数、除数、商都应该为整数。我鼓励了他，便提问了另外几个同学，怎样去判断“一个数能被另外一个数整除。”然后，我将12÷4=3又抄了一遍，让学生说“谁被谁整除，或谁能整除谁。”我感觉孩子们对这一步已经理解，就出示一个关于“两个数能否整除的题目”，在学生判断的过程中，有一个孩子说到了“除不尽”三个字，我马上就在黑板上出示了15÷2=7.5.然后问学生，这个能除尽，它就符合了“整除”的条件。孩子们表示否定，我立刻对“除尽”与“整除”的区别与联系分别举例展开教学。接着，我让学生在草稿本上用字母表示“整除”的概念，既：a÷b=c所以，a能被b整除，或b能整除a。在孩子们与我的合作下，我将这个用字母表示的式子板书在了黑板上，并让同学们说出a,b,c应该具备的条件，他们都知道a,b,C是整数，我就在黑板上写出：6÷0=0，并说到：“6能被0整除”，孩子们反对，认为0不能作除数，于是，归纳出：b不等于0.这样，就结束了对整除的教学，用时20分。(思考困惑：当有孩子说出“整除”的字眼时，我没有引导学生去挖掘更多同学的的分类。虽然“整除”是前面已学的知识，但孩子们感到特别陌生，我便举了很多实例让学生判断，练习。但这一内容费时过多，有老师提出：可以在分类上下功夫，让学生能明白“整除”的概念就可以了，没有必要加强“一个数被另外一个数整除”以及整除条件的练习，或者少一点，从而将这部分时间压缩在10分钟以内，我很赞成这样的一些做法，但我感到困惑：面对学生对以前所学知识模棱两可或不理解的情况下，如果占用了教学这部分内容的时间，这是否为不恰当，或者说怎样来调整这样的现状呢?是用后面的课堂来弥补，还是将这其中的一些环节上或教学策略进行压缩。)

在学习约数与倍数的意义时，我先在黑板上出示了12÷4=3的式子，让孩子们用整除的知识来表达，既12能被4整除，或4能整除12。然后，我说到：“我们还可以说成‘12是4的倍数，或4是12的约数’。那么，18÷2=9，我们又可以怎么说呢?”我发现孩子们很顺利地说了出来，我就马上在黑板上写下9和2让孩子们说“谁是谁的倍数和约数”。此时，有的孩子提出反对意见，有的在继续用倍数和约数的概念在表达。我就引导他们展开讨论，从而得出：9不能被2整除，所以9就不是2的倍数，2也不是9的约数。接着，我又在黑板上写出15和3，让个别同学用“一个数是另一个数的倍数或约数”来判断，并让他们说出了用“倍数和约数”这一概念来表达的前提条件。当我发现孩子们用数字表达比较熟悉的时候，我马上要求他们用字母来表达，并说出每个字母所表示数的范围，既：a÷b=c(abc都是整数，且不能为0)，那么，a就是b的倍数，b就是a的约数，这就是约数和倍数的意义，并板书课题。然后要求孩子们完成练习十一第2至4题，孩子们在做的时候，我在重点观察“后进生”，当有孩子说完成时，我就要求他们去与旁边的同学进行交流。孩子们练习的时间大概有4分钟(思考与困惑：第二题是“36和6;4和24”，让学生用倍数和约数的概念来表达。对于这类题，多数孩子都能做，但如果在草稿本上写，就需要一定的时间，在教学的时候，有老师提出处理有些草率，孩子们的练习时间不够，我就在想：是否可以由老师引导学生用语言来表达，而不需要孩子动手操作呢?)下课钟声敲响，我引导他们完成了第二题，在第三题的.判断中有一个题目：因为36÷9=4.所以36是倍数，9是约数。有孩子认为是正确的，但有的孩子认为是错误，我便让“说错误的一个孩子”说出他的理由：“只能说36是9的倍数，不能单独说36是倍数”，我同意了他的看法，并举例说：12是倍数，5是约数，对吗?孩子们大声回答：“不对!”，我总结到：“我们只能说某个数是另外一个数的约数或倍数，不能让它们单独存在，它们是互相依存的。例如：12和4，12是4的倍数，同时，4就是12的约数!”看到孩子们点了点头，我便结束了今天的课堂。(思考与困惑：关于“约数和倍数是相互依存的”，我没有在分析中渗透，因为没有找到恰当的切入点，在处理练习时，恰恰看到有这样的题目，我就想抓住这点展开分析，归纳。但时间又不允许，我自己便归纳出来。有老师提出：这样的内容应该在新知识的讲解中出现，我个人认为：这是教学策略的话题，教学中的知识点，我们没有必要强调它必须在哪里出现，只要能在具体的情景中呈现出来就可以了。)

反思与困惑：关于教学目标的话题，有老师提出我的A类目标中的第三目标没能在教学中体现，我很坦诚地承认这一目标我没有达成。于是，我们就分析了没有达成的原因，按照教参的安排，第三个目标：懂得求一个数的约数的方法，并归纳出一个数的约数是有限的。这属于第二课时的内容，但在设计上，我将其设成“预设”板块，也就是从自己主观的把握上，我应该将这个内容与孩子们一起学习完，才能不浪费课堂上的时间，但在真正的课堂上，我才发现孩子们对“整除”的知识是陌生的，模糊的，怎么办?我只好从孩子们的已有知识开始展开教学，也就是维果茨基的“最近发展区”的观点，但在讨论的最后，我们在思考：怎样在保证前面部分教学效果的情况下，压缩前面的教学时间，从而让这节课更加完美。有老师提出：教学中对概念的巩固练习可以少一点，也有老师提出：对有些知识点没有必要去循循善诱的启发，例如：b是除数，不能为0。老师就没有必要去举例，直接告诉学生，除数不能为0就可以了。作为老师所提的改进措施，我也做了很多假设，但这样做是否恰当呢?我非常清楚，这节课如果将我的与教学实际相结合，是非常遗憾的课，因为没有完成上的教学任务。对此，我就在想目标与策略的问题，如果我们预先设定了目标，但在具体的教学中因为孩子本身知识点的原因，不能达成，这除了说是目标有问题或策略出毛病外，是否还可以从另外的角度来思考与论述?

教学建议

教材分析

约数和倍数的意义是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求最大公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念．

教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式可以分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又可以分除尽和除不尽两大类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．

学生学过约数和倍数的意义后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（可以说8是4的倍数，也可以说8是4的2倍；但是不可以说0.8是0.4的倍数，只能说0.8是0.2的2倍），从而进一步理解和掌握约数和倍数的本质．

教法建议

约数和倍数的意义是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求最大公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，是本单元中最基本的概念．

复习引入时，教师要通过新旧知识的联系，抓住生长点， 对已掌握的“整除”的意义进行复习，通过观察算式的特征和结果，首先将算式分为除尽和除不尽两大类，然后再对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．

约数和倍数是建立在整除的基础上的，所以教学求一个数的约数和倍数的时候，首先要利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对的找，在学生学会找约数的基础上，教师可以给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景．学生掌握了约数的特点，更能提高找约数的能力．找倍数的方法学生很容易理解，难点是对一个数的倍数是无限的这个特点的认识，教师可以在练习中设计集合圈中加省略号和不加省略号两种题目，让学生通过对比讨论加深认识．

教学设计示例

约数和倍数的意义

教学目标

1、掌握整除、约数、倍数的概念．

2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系．

教学重点

1、建立整除、约数、倍数的概念．

2、理解约数、倍数相互依存的关系．

3、应用概念正确作出判断．

教学难点

理解约数、倍数相互依存的关系．

教学步骤

一、铺垫孕伏（课件演示：数的整除 下载）

1、口算

6÷5 15÷3 23÷7

1.2÷0.3 24÷2 31÷3

2、观察算式和结果并将算式分类．

除  尽 除  不  尽

6÷5＝1.2      15÷3＝15

1.2÷0.3＝4     24÷2＝12 23÷7＝3……2

31÷3＝10……1

3、引导学生回忆：研究整数除法时，一个数除以另一个不为零的数，商是整数而没有余数，我们就说第一个数能被第二个数整除．

4、寻找具有整除关系的算式．

板书： 15÷3＝5     15能被3整除

5、分类

除  尽 除  不  尽

不能整除 整  除

6÷5＝1.2

1.2÷0.3＝4 15÷3＝15

24÷2＝12 23÷7＝3……2

31÷3＝10……1

二、探究新知

（一）进一步理解“整除”的意义．

1、整除所需的条件．

（1）分析： 24能被2整除，15能被3整除；

23不能被7整除，31不能被3整除；（商有余数）

公五年级数学《约数和倍数的意义》教学设计

教材分析

约数和倍数的意义是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求最大公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念．

教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式可以分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又可以分除尽和除不尽两大类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．

学生学过约数和倍数的意义后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（可以说8是4的倍数，也可以说8是4的2倍；但是不可以说0.8是0.4的倍数，只能说0.8是0.2的2倍），从而进一步理解和掌握约数和倍数的本质．

教法建议

约数和倍数的意义是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求最大公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，是本单元中最基本的概念．

复习引入时，教师要通过新旧知识的联系，抓住生长点， 对已掌握的“整除”的意义进行复习，通过观察算式的特征和结果，首先将算式分为除尽和除不尽两大类，然后再对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．

约数和倍数是建立在整除的基础上的，所以教学求一个数的约数和倍数的时候，首先要利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对的找，在学生学会找约数的基础上，教师可以给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景．学生掌握了约数的特点，更能提高找约数的能力．找倍数的方法学生很容易理解，难点是对一个数的.倍数是无限的这个特点的认识，教师可以在练习中设计集合圈中加省略号和不加省略号两种题目，让学生通过对比讨论加深认识．

教学设计示例

约数和倍数的意义

教学目标

1、掌握整除、约数、倍数的概念．

2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系．

教学重点

1、建立整除、约数、倍数的概念．

2、理解约数、倍数相互依存的关系．

3、应用概念正确作出判断．

教学难点

理解约数、倍数相互依存的关系．

教学步骤

一、铺垫孕伏（课件演示：数的整除 下载）

1、口算

6÷5 15÷3 23÷7

1.2÷0.3 24÷2 31÷3

2、观察算式和结果并将算式分类．

除尽

除不尽

6÷5＝1.2 15÷3＝15

1.2÷0.3＝4 24÷2＝12

23÷7＝3……2

31÷3＝10……1

3、引导学生回忆：研究整数除法时，一个数除以另一个不为零的数，商是整数而没有余数，我们就说第一个数能被第二个数整除．

4、寻找具有整除关系的算式．

板书：15÷3＝515能被3整除

5、分类除尽

除不尽

不能整除

整除

6÷5＝1.2

1.2÷0.3＝4

15÷3＝15

24÷2＝12

23÷7＝3......2

31÷3＝10......1

二、探究新知

（一）进一步理解”整除“的意义．

1、整除所需的条件．

（1）分析：24能被2整除，15能被3整除；

23不能被7整除，31不能被3整除；（商有余数）

6不能被5整除；（商是小数）

1.2不能被0.3整除；（被除数和除数都是小数）

（2）引导学生明确：第一个数能被第二个数整除必须满足三个条件：

a、被除数和除数（0除外）都是整数；

b、商是整数；

c、商后没有余数．

板书：整数整数整数（没有余数）

15÷3＝5

2、用字母表示相除的两个数，理解整除的意义．

（1）讨论：如果用字母a和b表示两个数相除，那么必须满足几个条件才能说a能被b整除？

（板书：a÷b）

学生明确：a和b都是整数，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除．

（板书：a能被b整除）

（2）继续讨论：在什么情况下才能说a能被b整除？（板书：b≠0）

学生明确：整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）．

3、反馈练习．

（1）下面的数，哪一组的第一个数能被第二个数整除？

29和336和121.2和0.4

（2）判断下面的说法是否正确，并说明理由．

a．36能被12整除．

b．19能被3整除．（）

c．3.2能被0.4整除．（）

d．0能被5整除．（）

e．29能整除29．（）

4、”整除“与”除尽“的联系和区别．

讨论：综合以上所学知识讨论，”整除“和”除尽“有什么联系？又有什么区别？

教学目标

(一)理解并掌握求一个数的约数和倍数的方法。

(二)渗透集合思想，使学生会用集合图表示一个数的约数和倍数。

教学重点和难点

(一)求一个数的约数和倍数的方法。

(二)一个数的约数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。教学用具

投影片。

教学过程设计

(一)复习准备

口答下面各题。(投影片)

1．填空。

如果整数a能被整数b整除(b≠0)，整数a就是整数b的________，整数b就是整数a的________。

2．说出下面各组数中谁是谁的约数，谁是谁的倍数：

125和 25  72和9 57和 19

3．判断下面的说法对不对，并说明理由。

(1)15是倍数，5是约数；    (  )

(2)6是3的倍数，是24的约数；  (  )

(3)4是12的约数，也是3.6的约数；  (  )

(4) 48是12和 6的倍数。  (  )

教师：我们已经学习了约数和倍数，了解了它们相互依存的关系，今天来继续学习如何求一个数的约数和倍数。(板书课题：求一个数的约数和倍数。)

(二)学习新课

1．求一个数的约数的方法。

(1)(板书)例2  12的约数有哪几个？

教师：想一想，符合什么条件的数一定是 12的约数？(能整除 12的数。)学生口答老师板书：

12÷1=1212÷12=1

12÷2=6 12÷6=2

12÷3=4 12÷4=3

12的约数有：1，2，3，4，6，12。教师：如果用集合图表示：

教师：观察板书列式，看一看12的这些约数有什么特点？

学生口答后教师概括：从整除算式中可以看出，一个数的约数是成对的。(整除算式中的除数与商就是一对。)

(2)练习。找出下面各数的约数。学生在本上写，老师巡视，请四位同学板书。

集体订正后，请学生说一说是怎样找出这些约数的？(从较小的自然数开始，一对一对地找。)

教师：观察上面几个数的约数，讨论下面几个问题：

①一个数的约数的个数有没有限？

②一个数的约数的个数有没有规律？

学生讨论后教师概括：

一个数的约数是有限个。一个数的约数个数，一般为偶数个，如果是平方数，约数的个数为奇数个。一个数的最小约数都是1，最大约数是这个数本身。

(口答)说出下面各数的全部约数：

8，14，25，39，45。

老师：找一个数的约数，可以用能整除这个数的数去除，除数和商就是它的一对约数。

2．找一个数倍数的方法。

(1)(板书)例3 2的倍数有哪些？

学生口答，老师板书：

2×1=2  2×2=4  2×3=6

问：能写出多少个2的倍数？有没有2的最大倍数？

学生回答出能写出无数个2的倍数后，板书在算式后面补出省略号，说明表示无限个。

板书：2的倍数有2，4，6，8，…

用集合图表示：

问：集合圈里为什么要写上省略号？

(2)练习：填空。(请四位同学板书，其余同学填本，集体订正。)

教师：第(2)个集合圈里为什么不能写省略号？

教师：观察集合圈里的倍数有什么特点？发现了什么规律？

学生口答后老师概括：一个数的最小倍数是它本身，而没有最大的倍数；一个数的倍数个数无限。

老师：能说一说找一个数倍数的方法吗？(用自然数，1，2，3，…分别去乘一个数，就可以求出这个数的倍数。)

(三)巩固反馈

1．在下面的整数中圈出3的倍数。(投影)

2．在下面的集合圈里填上适合的数。

3．填空。

13的最小倍数是(  )，它的最大约数是(   )。(  )既是28的倍数，又是28的约数。

4．(口答)下面集合圈中，阴影部分应该填多少？为什么？

(四)课堂总结与课后练习

1．求一个数约数的方法。求一个数倍数的方法。

2．一个数的约数个数有限而倍数无限，它的最大约数和最小倍数是它本身。

3．课后作业：课本P52：4，5，6。

思考课本P52：7。

课堂教学设计说明

本节内容是在学生已掌握了整除、约数、倍数等概念的基础上进行的。因为约数、倍数是建立在整除基础上的，所以利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对地找。在学生会找约数的基础上，通过一组练习和观察，给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景。学生掌握了约数的特点，更能提高找约数的能力。找倍数的方法学生很易理解和掌握，在练习中设计了集合圈中加省略号和不加省略是两种题，让学生通过对比讨论，加深一个数的倍数是无限的这个特点的认识。

新课教学分两大部分。

第一部分教学求一个数约数的方法。分两层。找一个数约数的方法，会用集合图表示一个数的约数；在练习基础上让学生学会归纳求约数的方法，并发现一个数的约数的特点。

第二部分教学求一个数的倍数的方法。也分两层。让学生掌握找一个数倍数的方法；归纳找倍数的方法以及倍数的特点。

板书设计

“菲”同寻常

教学内容

苏教版九年义务教育小学数学第十册第39-40页，练一练，练习七第1-4题。

教学目标

1、使学生认识整除的意义，认识约数和倍数，能判断一个除法算式是不是整除的算式，并能说出两个数是否存在约数和倍数关系。

2、培养学生观察、比较、综合、概括等思维能力，培养学生依据概念进行判断的能力。

教学重难点

1、能判断一个除法算式是不是整除的算式，并能说出两个数是否存在约数和倍数关系。

2、区别除尽和整除，倍和倍数概念间的异同，倍数和约数相互依存关系。

教具准备

口算卡、小黑板

教学过程

一、随机口算

15÷3＝   10÷3＝  1.5÷3＝    28÷7＝    20÷7＝

28÷0.7＝ 33÷11＝ 35÷11＝   3.3÷1.1＝

二、建构概念

1、认识整除

（1）、根据商的特点，你能将这9道算式分分类吗？

除尽（没有余数）  除不尽（有余数）

（2）、除尽的这类算式还能再分一分吗？

除尽

整除 不能整除

师指出：像被除数、除数和商都是整数且没有余数时，就是一个整除算式。

（3）、你能再举出一些整除的算式吗？师相机板书

（4）、设疑：太多了，说不完！谁有办法把大家的整除算式概括成一个整除算式？

（5）、启发：请字母来帮忙啊，被除数用a，除数用b，商用c，怎么表示？

师板书：a÷b＝c

追问：这个整除算式中，a，b，c各有什么特点？（都要是整数，没有余数，b≠0）

（6）、指出：当a、b、c都是整数且没有余数时，就是一个整除的算式。由此便可以说：

a能被b整除，b能整除a

（7）、学会叙述：例如15÷3中，哪个数能被哪个数整除？还可以怎么说？

选一道算式，像这样说给同桌听。

（8）、判断练习P40练一练

2、认识约数和倍数

（1）、师指出：当数a能被数b整除时，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。（板书课题）

（2）、例如“因为15能被3整除，3能整除15，所以，15是3的倍数，3是15的约数”这句话你会说吗？

请同学们选一个整除算式，也可以自己写两个数，同桌互相说一说。

（3）、判断

①因为1.5÷0.5＝3，所以1.5是0.5的倍数。（  ）

②因为9÷6＝1.5，所以9是6的1.5倍。（  ）

③因为36÷6＝6，所以36是倍数，6是约数。（  ）

④5是5的约数，5又是5的倍数。（  ）

（4）、填空，使它成为整除算式。

（  ）÷1＝（  ）      0÷（  ）＝（  ）

师：能填的完吗？填不完是因为怎样的数都可以？

任何整数       任何非零整数

师：因此，我们可以说，任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数。0是任何非零整数的倍数，任何非零整数也都是0的约数。为了方便，我们在研究约数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。

三、巩固练习

P431-4 机动

四、小结应用

1、学了这节课，你有什么收获？

2、应用这些知识，你能从下面这组数中，任选2个数字说句话吗？

45   30    5   3   2

我在教学“约数和倍数”时，在课堂上让学生充分大胆地、自由地想、说、做。因此在进行整除意义的教学时，我首先让学生自己举些简单的不同类型的除法算式，通过自己动手分一分、想一想，然后再小组合作交流彼此的想法、分法，求同存异，最后通过争论得出正确结论。这样的方法正符合新课程标准所倡导的`学习方法。同时让学生在游戏中体会、感悟。在约数和倍数的概念建立之后，我组织学生进行不同层次的练习，巩固了约数和倍数的。因为玩是孩子的天性，让孩子在玩耍中轻松地获取知识是极好的学习途径。我在课的后面，安排了用自己的学号说一说和今天的知识有关的一句或几句话。这样一来，学生的学习兴趣越来越浓，同时也使学生感受到了数学的趣味性和无穷的魅力，从中体会、感悟知识的内涵与外延。这些都是不错的。

同时， 这节课也有着不少的问题。首先在算式分类的时候，由于我没有把学生的有些分法做出明确的判断，使得很大一部分的学生误以为除法算式分3类，整除，除尽和除不尽。而事实上整除只是除尽中的一种特殊的情况。其次，虽然让学生说了谁能被谁整除，谁是谁的倍数，谁是谁的约数这些语言，但说得还是不够充分，有个别学生还是有些模糊。我们的教育要面向的所有的学生，因而教师要注意让创造更多更有效的机会尽可能多的学生参与到教学中来。

教学内容：“约数和倍数”。

教学目标：

1．知识目标：使学生理解整除的意义，理清“除尽”和“整除”的关系；理解和掌握约数和倍数的意义，了解约数和倍数相互依存的关系。

2．能力目标：能判断一个数能否被另一个数整除，会根据约数和倍数的意义描述两个数之间的关系，培养学生根据信息进行分类、总结、概括的能力，培养学生会进行初步的观察、比较、分析、判断、概括的能力。

3．情感目标：渗透初步的辩证唯物主义思想教育；并通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。

教学重点：理解和掌握整除的意义、约数和倍数的意义。

教学难点：引导学生探索并理解约数和倍数之间的相互依存的关系。

教学过程：

一、创设情境

1.交流生活中的数学信息

师：（拿着数学课本）问这是一本？

生：数学课本

师：“数学”就是关于“数”的学问，我们的身边有“数”吗？

生：有

师：你能举几个例子吗？

生1：我有7本书。

生2：我有3个好朋友。

生3：我们班里有26名女同学。

……

2．根据信息组成应用题。

师：今天老师也带来了一些数学信息，让我们一起来看一下吧！（课件出示）

A组 B组

（1）35张圣诞贺卡 （8）共用去6.6元

（2）每本练习本2.2元 （9）平均分给11个同学

（3）有5个同学给灾区捐款 （10）共捐了15.5元

（4）小红每天读2页课外书 （11）已经读了24页

（5）买了4枝同样的钢笔 （12）共用布15米

（6）小东参加三门考试 （13）共考了273分

（7）做7套同样的校服 （14）小明带32元钱买钢笔

师：请根据你们的生活经验，选择两条相关的信息组成一道简单的应用题，并列式计算。（学生伴随轻音乐读题思考）同桌的同学可以互相说一说。

师：谁来说说看，你先择的是哪两条，求的是什么？怎么列式？

生1：我选（2）和（8）求的是可买多少本？列式为6.6÷2.2=3

生2：我选的是（1）和（9）求的是平均每人得到几张贺卡，列式为35÷11=3……2

生3：……

共得到7道算式，分别是：6.6÷2.2=3 35÷11=3……2 15.5÷5=3.1

24÷2=12 32÷4=8 273÷3=91 15÷7=2……1

[学生的学习材料来源于学生自己，并从学生的已有知识经验出发，找准知识的生长点。这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于继续学习下去，而无须教师强迫学生学习。]

二、自主探究

师：请同学们观察以上这些算式，并根据算式的特点分类，分好后小组交流。

（学生自己分好类后小组交流）

师：哪位同学来说说你是怎么分类的？

师：为了方便，老师给它们加上序号。（分别给7道算式加上序号）

①6.6÷2.2=3 ②35÷11=3……2 ③15.5÷5=3.1

④24÷2=12 ⑤32÷4=8 ⑥273÷3=91 ⑦15÷7=2……1

生1：我将②和⑦分为一类，①为一类，③④⑤⑥分为一类，第一类是有余数的，第二类的被除数和除数都是小数，第三类的除数都是整数。

生2：我也将②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类。第一类是有余数的，第二类是没有余数的。

生3……

师：从同学们的分类中可以看出：分类的标准不同所得的答案也不同。那我们先选择其中的一种分类来研究。（课件出示）

师：（先择②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类）这位同学他是按是不是除尽来分类的，那什么叫除尽？什么又叫除不尽呢？

生：商是有限小数的就是除尽，商是无限小数的就是除不尽。

[学生通过小组讨论、观察、分析、比较和分类，在头脑中建立了小数除法、有余数的整数除法和没有余数的整数除法三种类型的除法的表象。学生的分类，恰当地提供了学生学习新知的素材资源，使学生乐学、会学。]

三、归纳特征

师：我们再来仔细观察这些除尽的算式（①6.6÷2.2=3 ③15.5÷5=3.1④24÷2=12 ⑤32÷4=8 ⑥273÷3=91） ，看看这些算式还能不能再分分类，你准备怎么分？

生：①6.6÷2.2=3和 ③15.5÷5=3.1分为一类，因为这里面有小数， ④24÷2=12、⑤32÷4=8和 ⑥273÷3=91这三个算式分为一类，因为这三个算式中的被除数、除数和商都是整数，而且没有余数。

师：我们可以将（学生分类后）指着整除的一组算式：象这样被除数、除数和商都是整除而且没有余数我们就称它为“整除”（板书“整除”）（课件出示）

师：那我们仔细地观察整除和除尽有什么关系呢？

生：除尽的范围比整除的大。

师：如果我们用一个大圈来表示除尽，那整除就是其中的一个小圈。（课件出示集合图）

师：你还能再举出一些整除的算式吗?

生1：4÷2=2。

生2：30÷5=6

生3：280÷70=4。

……

师：整除的算式实在是太多了(在整除的小圈后加……)那我们能不能用一个含有字母的式子来概括整除算式呢？

生：用a÷b=c（板书）

师：是不是要加个什么条件呢？

生：b≠0（板书），因为b=0，除法就无意义了。

师：如果a、b、c都是整数（板书），且b≠0，那我们就说a能被b整除，或b能整除a。

［教师先从圈中拿去除不尽的除法算式，再将这些能除尽的算式进行分类，揭示出整除的算式。这样以集合圈的形式，渗透整除和除尽的关系。在学生找出了整除算式的特征后，教师请学生再举一些这样的算式，让学生再次感悟和应用整除算式的特征，并体会象这样的算式有无数个。并通过用一个含有字母的算式来抽象概括，既让学生感悟到用字母表示数的简便，又便于学生理解和掌握数的整除的概念。］

师：如15÷3=5，我们就说15能被3整除，或3能整除15。谁来说说这几道的（指着黑板上的几道整除算式）？

生1：24÷2=12我们就说24能被2整除，或2能整除24。

生2：32÷4=8我们就说32能被4整除，或4能整除32。

生3：273÷3=91我们就说273能被3整除，或3能整除273。

师：我们一起看看书P49的练一练1。（课件出示）

生答……

［教师针对内容的特殊性，采用传统的教学方式，直接说明、学生模仿。不容忽视的是，有意义的接受性学习、记忆和模仿还是必要的。在教师揭示了数的整除的概念后，通过让学生跟着老师一起说、请学生说和学生自己任选两个算式说给同桌听，到一起其说等多种方式让学生通过读来区分两种说法的区别，自我感悟。］

四、感悟关系

师：我们已经知道整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而且没有余数，我们就说数

我在教学“约数和倍数”时，在课堂上让学生充分大胆地、自由地想、说、做。因此在进行整除意义的教学时，我首先让学生自己举些简单的不同类型的除法算式，通过自己动手分一分、想一想，然后再小组合作交流彼此的想法、分法，求同存异，最后通过争论得出正确结论。这样的方法正符合新课程标准所倡导的学习方法。同时让学生在游戏中体会、感悟。在约数和倍数的概念建立之后，我组织学生进行不同层次的练习，巩固了约数和倍数的。因为玩是孩子的天性，让孩子在玩耍中轻松地获取知识是极好的学习途径。我在课的后面，安排了用自己的学号说一说和今天的知识有关的一句或几句话。这样一来，学生的学习兴趣越来越浓，同时也使学生感受到了数学的趣味性和无穷的魅力，从中体会、感悟知识的内涵与外延。这些都是不错的。

同时， 这节课也有着不少的问题。首先在算式分类的时候，由于我没有把学生的有些分法做出明确的判断，使得很大一部分的学生误以为除法算式分3类，整除，除尽和除不尽。而事实上整除只是除尽中的一种特殊的情况。其次，虽然让学生说了谁能被谁整除，谁是谁的倍数，谁是谁的约数这些语言，但说得还是不够充分，有个别学生还是有些模糊。我们的教育要面向的所有的学生，因而教师要注意让创造更多更有效的机会尽可能多的学生参与到教学中来。二年级认数教学反思倒数教学反思成数教学反思

最近我上了“约数和倍数”一课。开头一部分最初我是这样设计的：

师：我们学了四年多数学了，我们都感受到数学其实就是有关“数”的“学问”。而数在我们生活中无处不在，你能举些例子吗？生：（举例）

师：老师这里也有一些含有数的信息（出示一组数据），你能选其中两个组成应用题吗？生：（口答组成的应用题及算式）教师板书。

师：请同学们观察以上这些算式，并根据算式的特点分类，分好后小组交流。（学生自己分好类后小组交流）

师：哪位同学来说说你是怎么分类的？

随后在思考这节课时，我发现按这样的方案上的话虽然能在一定程度上调动学生的参与积极性，使学生更多地参与进来，但耗时太多，情节太多太杂，这样既不能突出课的重点，也减少了这节课学生接受新知和练习的时间，显然得不偿失。于是我“忍痛割爱”把这一环节进行了简化：

首先出示9个算式，让学生进行口算，这样一方面进行基本训练，提高口算能力，另一方面让学生感受除法计算中的不同情况，为分组、认识整除埋下伏笔。

上完这节课后，丁主任对这节课进行了指导，我进而认识到，经过调整后虽然摒齐了对课的形式的过分追求，但对课的设计思考是不到位的。对教学的目标教师和学生还都不够清楚，重点还不够突出。于是我又进行了调整：

课一开始，教师首先揭示课题，并提问学生由这个课题想到了什么。这样就让学生在一开始就有一个明确的目标。然后教师直接点出：要认识约数和倍数，我们首先要认识一个非常重要的概念――整除。随后就出示已计算好的一组算式，看一下计算是否正确，再按照算式中被除数、除数和商的特点来进行分类。

第二次上这节课时，我就感觉到，教师和学生都有了明确的目标，也因为有了明确的目标，教师的教学思路清晰了，学生的学也有了明确的方向，从而也使得这节课的重点很好地体现了出来，效果明显比第一次上时好多了。

随着新课改的不断深入，我们从最初的狂热中逐渐冷静下来，也开始更多地思考如何重实效轻形式的问题。通过两改两上这节课，我进一步感受到，我们的数学课堂不是一定需要吸引人的问题情境来调动学生的学习积极性。清晰的思路、严密的逻辑、成功的体验，用数学本身的魅力来吸引学生，也许更有利于学生的长远发展。

“约数和倍数”是数的整除这部分知识的第一课时， “整除”、“约数”、“倍数”、三个概念（特别是“整除”）非常重要，学生是否真正理解和掌握，这关系到对后面整个单元知识的学习和运用，而且还直接影响到以后学习分数的约分和通分。我在上这节课时各部分层次清楚，从学生反馈的情况看，教学效果良好。以下是几点体会：

1、从提供的信息中让学生列算式，为下面算式分类作好了准备！这个环节让学生体会了数学来自于生活实际，但要注意有效性！

2、“约数和倍数”是学生第一次接触的新概念，在揭示时应该放慢速度，并进行板书，便于学生理解掌握！

3、让孩子在游戏中体会和感悟，比较好！在约数和倍数的概念一建立后，组织学生做游戏，在游戏中找具体数的约数和倍数，从中体会、感悟知识的内涵和外延，这也正符合新课标中所要求的重视学生的.情感体验，重视学生的体会和感悟。同时，也使学生感受到了数学的趣味性和无穷魅力。但游戏之后应该提炼“任何自然数都是1的倍数，1是任何自然数的约数”这重要一点！

3月10日，我上了“约数和倍数”一课，又经过丁主任的指导，感触颇深。

一、关于目标定位

在设计这节课时，首先确定了以理解“整除”、“约数”和“倍数”的意义及相互间的关系、整除中“1”和“0”两个特殊的数的情况作为知识目标；判断是否是整除、正确叙述整除、约数和倍数关系及在概括整除的意义环节中培养观察、类推等能力作为技能目标。这仅仅是在设计教案之初设定的目标，是完整教案中的一部分，它的定位准确仅是上好这节课的前提，而非保证。而更重要的是在具体教学过程设计中体现出的目标定位，这是备好一节课的基本条件。最重要的，则是教学实施过程中体现的目标定位，这才真正是评定一节课的目标定位的依据。我在这一节课的设计中，即上述前两个方面，目标定位是比较明确的，但最关键的第三个方面即实施过程中所体现出的目标定位相对来说就没有足够的.重视，因此也就使得原先设定的目标没有得到最好的落实。这使我感觉到，目标的定位并非在教学设计时设定好了就可以“一劳永逸”，而是一定要贯穿到整个教学流程的始终。

二、关于教学设计

我在设计这节课时，在设定目标之后就在目标的指引下按“一般流程”来设计教学过程，并参照了一些好的课例，课的知识点、环节、问题情境的设计是很完整的。但现在想来，如果在设计教案时首先确定一个大的框架，然后再进行填补，肯定能使教学思路更为清晰，重点更为突出。就像搭一个建筑物，先搭一个大框架，再逐步填充，比脑子里想着结构一块砖一块砖垒上去更加容易把握住。我在这节课的设计之初，有一个比较明确的大体框架，但在具体设计时，则一个一个环节细细推敲，甚至于一句话都要推敲得令自己满意为止。但这样随着“推敲”的逐步深入与细化，课的大框架即整体思路反而淡化了，甚至有一些模糊，这显然是得不偿失的。这使我感觉到，要备好一节课，必须始终把握住一个整体的框架，而不能过于重视一些细枝末节的东西，这样才能把握住课的重点，形成一个清晰的教学思路。

三、关于教学实施

为了上好这节课，我首先想到了摆正教师与学生的主导与主体地位，于是精心设计了每一个环节，能让学生自主探究的决不包办替代，这在如今形势下应该算是“应时之举”。课的第一部分是理解“整除”的意义，我也组织了学生探究，即算、分类、找特征、概括意义；最后关于两个特殊的数“0”与“1”，也安排了一组填充来让学生找规律。但在具体实施中，由于怕“讲过头”有越位之嫌，关键处学生即使探究不出什么来也不敢讲，却不想导致了“导”得太多，完全违背了初衷，甚至像兜圈子，也因而坐失良机，降低了效率。该出手时还是得出手，而不是从一个极端走向另一个极端，学生无法探究出的或者是根本不需要由学生探究的，该讲授还是要讲授，该自学的还是自学，我想这样才是对新课改的正确把握。

要提高数学教学的质量，精讲多练无疑是最有效的策略。要做到这一点，我们要做的还有很多，很多。

教学内容：

小学数学第十册第三单元中的第一小节授课内容。

目标分析：

进一步探索理解整除的意义，知道约数、倍数的含义以及它们之间相互依存的关系。

难点分析：

这部分内容是在第八册整除知识的基础上进行教学的，是这一单元中最基本的概念，也是下一步学习质数、合数、互质数，以及求最小公倍数、最大公约数的前提。因此，约数、倍数的含义以及它们之间相互依存的关系是本小节的难点。要让学生明确以下情况：1、被除数、除数（0除外）、商必须都是整数，而商后没有余数，同时明确“除尽”和“整除”的区别，还要说明如A能被B整除，反过来可以说B能整除A的道理；2、约数和倍数必须以整除为前提，约数和倍数是一对相互依存的概念，不能独立存在，同时，因为0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数都是0的约数，在以后学习分解质因数等内容时，一般限于非0自然数，所以本节内容应把0排除在外；3、要把倍数与倍区分清楚；4、通过一些简单的方法找出一个数的约数和倍数。

解决策略：

由于知识内容比较抽象，为了使学生掌握好这部分知识，应尽量从学生已有的知识出发，用实际例子引出概念。

在复习整除概念的意义和教学例1时，一可以通过一些除法算式的对比形式，用定义对整除加以概括，并用字母表示相除的两个数，突出除数不为0，这样就使学生对整除的意义的理解在已有的基础上得到加深。二可以通过约数和倍数必须以整除为前提的认识过程，很快说出两个倍数关系谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数，谁是谁的约数，避免学生常出现的谁是倍数，谁是约数的错误认识，并强调倍数与约数是一对相互依存的关系。

在教学例2时，利用画彩条和集合图的方法表示一个数的约数。为了解决学生内容遗漏，可以用一对一的找法，如12÷12=1，就可以找到12÷1=12。通过以上找法，让学生归纳出：一个数的约数个数是有限的，其中最大的约数是本身，最小的约数是1。

在例3时，同样可以参照例2画彩条和集合图的方法表示一个数的倍数。但必须强调找一个数的倍数，应从最小的倍数开始找，引导学生探索自然数是无限的，因此2的倍数也是无限的，所以可以用省略号表示，在用集合图表示倍数时，要注意在圈里写上省略号。在概括出一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它的本身时，要让学生弄清为什么一个数的倍数没有最大的，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的，因此没有最大的倍数。

课堂活动：

这节课注重学生的主动参与，自主建构，让学生在生活中理解约数、倍数的概念。具体表现如：

—是注重知识的内在联系，让学生利用已有知识经验推动新知识的学习。整除是建立约数、倍数概念的重要基础，针对知识的这一内在联系和学生已经学习了整除概念这一实际。新课前进行的复习准备，既能唤起学生对整除的回忆，激活学生的认知结构，又能为新课的学习作好充分的认知准备此外，在新课的学习和练习中，让学生感受到很多数的约数和倍数都不止一个，为公约数、公倍数等学习作铺垫。

二是充分激发学生主动参与，让学生进行自主建构．本节课在对约数、倍数的理解和关系把握的教学中，教师注重角色的转换，置学生于教学的主体地位，通过不同表述方式表达两个数的关系等，为学生进行自主探索搭建平台，学生在教师的引导、组织下，独立思考，合作交流，全面、深入理解约数、倍数的含义，清楚把握它们的关系。

三是课堂活动性强，练习形式丰富，内容全面。本节课在课堂活动的安排上，体现全面性、趣味性、深刻性。通过这样的练习，不但有利于学生全面巩固所学知识，更有利于激发学生参与的积极性，让学生体验到数学学习的乐趣。

1、让学生大胆地、自由地想、说、做。

语言是思维的外壳。天真烂漫的孩子是怎么想的，只有通过他们的说才能反映出来。为此，在进行整除意义的教学时，首先让学生独立研究（即自主探究），通过自己动手分一分、想一想，然后再小组合作交流彼此的想法、分法，求同存异，最后通过争论得出正确结论。这样的方法正符合新课程标准所倡导的学习方法。

2、让学生在游戏中体会、感悟。

玩，是孩子的天性，让孩子在玩耍中；轻松地获取知识是极好的学习途径。因此，在约数和倍数的概念建立之后，组织学生做游戏，在游戏中找具体数的倍数和约数，从中体会、感悟知识的内涵与外延。这正符合新课程标准所要求的重视学生的情感体验，重视学生的体会、感悟。同时也使学生感受到了数学的趣味性和无穷魅力。

3、置身于学生当中，做学生的一员，增强与学生的亲和力。

古人云，亲其师则信其道。我觉得当今的教育也是如此。老师只有不断增强与学生的亲和力，学生才能乐意跟着学习。为此，在学习约数和倍数之前，我组织学生编号时，把自己也编入学生之列，并与学生共同游戏，置身于学生当中，使学生感受到教师就是他们的朋友，就是他们中的一员，这也正体现了师生平等的新理念。

素质教育的重要着眼点是改变学生的学习方式。实施素质教育就必须要以学生的发展为本，要改变学生在原有的教育教学条件下所形成的那种偏重于记忆和理解、立足于接受教师知识传输的学习方式，帮助学生形成一种主动探究知识、并重视解决实际问题的积极学习方式，这是一种有利于终身学习、发展学习的方式。为了倡导这种学习方式，使素质教育落到实处，我在设计约数和倍数的意义这一课时，采用了以问题为中心，在教师的指导下，让学生以合作交流、讨论、自学等形式主动地去获取知识、应用知识、解决问题，从而使学生的创新精神和实践能力的发展有了切实的落脚点。

综观整堂课，教师教得非常少，而学生讲得非常多，学生之间合作交流多，学生自主学习多，教师只是一个组织者和参与者，学生真正成为学习的主人，不仅积极参与每一个教学环节，切身感受了学习数学的快乐，品尝了成功的喜悦，而且不同的学生得到不同的发展，满足了学生求知、参与、成功、交流和自尊的需要。

【背景与导读】

《约数和倍数》是人教版义务教材五年级下册的教学内容。本节课属于概念教学，可操作性不强，对学生来说比较抽象，理解较困难。可以说，目前，想把概念教学讲透、讲活是众多数学教师所面临的一个难题。理解约数和倍数的涵义是建立在“整除”的基础之上。在之前学生对整除只是有个初步的认识，但还不能以严密的定义形式再现，所以我先让学生通过给几道除法算式求商，然后根据算式特点将算式分类，通过观察、比较建立“整除”的意义。在此基础上提出两个数的另一种关系：约数和倍数的关系。通过自主学习、合作探究的形式，掌握约数和倍数的意义，并抓住了对关健词“相互依存”的理解，又通过学生互辨互评的过程，以及趣味的变式练习，深化了对约数和倍数的理解。在整个新知识的教学中，学生始终保持着饱满的热情，积极地去探索、去体验，主动地建构知识。

【案例与反思】

活动探究，建立整除概念。

[片断一]

1.将下面几道算式卡片分发到各小组

15÷36÷1.23÷224÷8

30÷153.3÷1.120÷6

师：先计算，再根据你们在计算时的体验将这些算式分类，并说出分类的依据。

（小组计算、商讨，汇报交流）

生1：我们组认为可以分为两类，一类是除不尽的，另一类是除尽的。（同时展示）

（1）15÷3=5（2）7÷3=2……1

6÷1.2=520÷6=3……2

3÷2=1.5

24÷8=3

30÷15=2

3.3÷1.1=3

生2：我们组认为可以分为这样的两类：一类是被除数和除数都是整数的，另一类是被除数和除数有小数的。（同时展示）

（1）15÷3=5（2）6÷1.2=5

3÷2=1.53.3÷1.1=3

30÷15=2

7÷3=2……1

20÷6=3……2

生3：我觉得生1组的分类合理些，生2组的分类没什么意义。

生4：我们也同意生1组的分法，但我们认为还可以将第（1）类再分成两类，这样可以分成三类：一类是一般除尽的；一类是不仅能除尽并且整除的；一类是除不尽的。（同时展示）

（1）3÷2=1.5（2）15÷3=5（3）7÷3=2……1

6÷1.2=524÷8=320÷6=3……2

3.3÷1.1=330÷15=2

师：依据不同的标准，就有不同的分法。生3将能除尽的算式又分成了两类，将整除算

式单独列出来。你能用一句话或一幅图表示整除和除尽的关系吗？

（小组内商量）抽生汇报：能整除一定能除尽，能除尽不一定能整除，除尽的范围要比整除的范围大一些。

生：我们还可以用一个集合图来表示整除和除尽的关系：

师：请你们再举出几道整除算式来。同桌交流。

师：如果用数a表示被除数，数b表示除数，数c表示商，那么它们的整除条件是怎样的？（小组内商量、汇报，师板书）

a÷b=c（1）a、b、c都是整数，并且没有余数。

（2）b不等于0。

师：一道除法算式如果具备了整除条件，我们就说数a能被数b整除，B能整除a。

生自读教材整除定义。

师：那么15÷3=5这个整除算式，谁能被谁整除，谁能整除谁？（抽几名学生说一说）

小组内学生互说互评。

师：能否说3能被2整除？为什么？

……

[反思]

理解“整除”是认识“约数和倍数”的前提，概念的学习，对学生来说比较抽象。教师必须激发学生的学习兴趣，只有在学生主动的状态下的学习才是最有效的，课堂上一方面要体现以学生为主体，另一方面要培养学生自我探究的意识，让学生主动参与学习过程，才能激发他们的探究欲望，培养学生自主学习的能力。学生在以前虽然学习过整除，但已冷却了很长时间，何况当时也没有明确地下定义，而理解“整除”对于本节课很关键。于是我没有按教材安排的那样一开始就让学生回忆什么叫“整除”，而是依据学生对整除算式的表象印象将几道除法算式求商后进行分类，进而从中筛选出整除算式，通过筛选对“整除”的表象深化，从而理解“整除的意义”。另外，我也不是将计算好的算式直接让学生分类，而是先计算，再让学生根据自己的实践体验，分类时也更有依据性。还把算式制成活动卡片的形式，创设了操作契机，学生分类也较灵便，学得也很积极主动。

[片断二]

交流探索，理解“约数和倍数”

师：当数a能被数b整除时，它们也具备了另一种关系，那就是我们今天要学习的约数和倍数的关系。（板书课题）

这种关系是什么样的呢？自读教材“约数和倍数”的'意义。

自学提示：

（1）在什么情况下两个数才具有约数和倍数的关系？

（2）这种关系是怎样的？

（3）“相互依存”是什么意思？（可查字典）

生1：必须在整除的前提重要条件下，两个数才具备约数和倍数的关系。（其他同学举手同意）

生2：当数a能被数b整除时，a就是b的倍数，b就是a的约数或因数。如15÷3=5，15是3的倍数，3是15的约数。

生3：生2的回答很好，他还举了例子，让大家听得非常明白。

师：（以7÷3=2……1为例）能说7是3的倍数，3是7的约数吗？

生哗然：不能！

为什么？

生4：约数和倍数必须建立在整除的前提条件下，7不能被3整除，所以不能说7是3的倍数，3是7的约数。

师作明白状，然后擦掉不是整除的算式。

同桌相互说出一组数的约数和倍数的关系。

师：书中有这样一句话，约数和倍数是相互依存的，怎样理解？

生5：我们查过字典，也相互讲座过，“相互依存”是相互依靠、相互依赖的意思，简单地说，就是“相依为命，谁也离不开谁”。

师：我也以15÷3=5为例，因为15能被3整除，所以15是倍数，3是约数。请你们判断我说的对吗？

生：“对”“不对”

师：为什么不对？

生15是3的倍数，但在30÷15=2中，15又是30的约数，所以不能单说15是倍数，它也可能成为另一个数的约数。必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

师强调：这就是约数和倍数的相互依存交通系统，必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

……

[反思]

在引入约数和倍数时，注意了新旧知识的联系，让学生感受到新知识的生长点。认识约数和倍数的意义时，让学生在看书自学的基础上谈收获和体会，体现了让学生在学习中的自主建构，而自学提示又给学生点亮了指明灯，让学生学有目标。对于第一次认识的两个数的约数和倍数关系，通过让学生相互说、评的过程，加强了学生对“约数和倍数”的认识，又通过查字典、互辨互说中理解“相互依存”的含义，从而深化对“约数和倍数”的理解。而在数学课堂上查字典，学生感觉很新鲜，也体会到学科之间是相互联系的，学生学得更主动了。

[片断三]

趣味练习，深化主题。

课堂练习

……

课后练习第四题：下面哪些数是60的约数，哪些数是6的倍数

481256018

我是这样设计的：将这几个数制成数字卡片，抽两名学生上黑板选出之后贴入下面的集合里

生1选出12、5贴到第一个集合里。

生2也选出48、18，然后又将12从第一个集合里拿到第二个集合里。（生1还没看见）

生1刚拿到60，生2也去拿60，这样两人相持不下，“我的”“我的”

生1：哎，12本来是我的，你怎么拿走了？（生1这才发现12已被生2拿走，而现在又在争夺这个60）

其他同学都笑了。

师：同学们，你们看，这两个数该给谁呢？

生：他们俩都对！（学生们都愣住了，噢，这两个数他们都需要。）

师：谁能说说这说明了一个什么道理？

生1：说明了一个数可能是某个数的约数，也可能是另一个数的倍数。

生2：这正说明了约数和倍数得相互依存的。

生3：正因为这样，所以不能单说谁是约数，谁是倍数。一定要说清谁是谁的约数，谁是谁的倍数；谁的约数是谁，谁的倍数是谁。

……

[反思]

巧妙地将这个练习题设计成了趣味游戏，将静态教材动态化，符合学生的年龄特点。在两个学生争夺这两个数时将课堂气氛推向了高潮。不仅增强了数学学习的趣味性，而且使学生加深了对约数和倍数的认识，并对深化本节课的主题也起到了推波助澜的作用。让学生真正成为学习的主人，调动了学生学习数学的兴趣。

[点评与拓展]

这节课是概念教学，教师没有落入“枯燥乏味”的老套，而是根据学生的年龄特点和教材特点，灵活地驾驭教材，取得了非常好的教学效果。本节课在教学设计上体现了新的课程理念，注重了学生的主动参与、自主建构，让学生在活动中理解约数和倍数的意义。教师在角色上只是作好引导，帮助学生质疑解难，当学生的学习有困难时，教师采用了分组讨论，采取合作交流的学习方式排除疑难，让学生真正成为学习的主人，亲自品尝到了成功的喜悦。

一是将静态教材动态化。新课程强调教师不仅是教材的使用者，同时也是教材的开发者，本节教学中，教师在理解、研究教材的基础上，在胆地对教材进行二度开发，实现了教材由静态向动态的转变。教师没有如教材所提供的教学思路，先复习什么是整除，然后找出整除算式，而是先将静态的算式制成动态的卡片，为学生将算式进行分类提供了动态情境，成功地实现了“整除”在学生心中的辨别与概括的建构过程，也为下面学习约数和倍数做好了准备。在课堂练习时，教师又将静态的选择题设计成活动卡片的形式，不仅调动了学生的学习数学的兴趣，而且深化了对约数和倍数的理解，实现了在数学课中的“活中乐、活中学、活中悟、活中索”的数学学习新体验。

二是教学内容探究化。“教学不是告诉，”教师没有直接把整除的意义告知学生，而是让学生在算一算、比一比、摆一摆、议一议、说一说的过程中，探究除法算式的特点，感知整除与除尽、小数除法的不同；在学习约数和倍数的意义时，则通过自主学习与合作探究的形式，当有了疑难，则通过让学生互辨互评的方式，顺利地突破了重难点，体现了“学生是教学的主体”这一新课程的核心理念。

三是概念教学活动化。以往教师在概念教学中大多采用讲解法，教学沉闷，教师讲得吃力，学生听得费劲。而在本节课中，教师让学生在拼摆算式、合作交流、变式练习等形式使课堂气氛活跃生动，学生学得轻松愉快，提高了学生学习数学的兴趣。同时也培养了学生在活动中合作学习、团结互助的精神，拓展了学生的学习能力，学生也从中尝到了成功的乐趣。

★

★

★

★

★

★

★

★

★

★