向量空间证明

下面就是小编给大家带来的向量空间证明，本文共10篇，希望大家喜欢，可以帮助到有需要的朋友!

向量空间证明

解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中

2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;

3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;

4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的'问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可

只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法

2

解：

因为x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)

步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

2

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c

平方 (1)

向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d

平方 (2)

(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于P点

由三角形中位线定理有：

向量EP=向量BG

又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量PF=(向量AD+向量GC)

∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

4

先假设两条中线AD,BE交与P点

连接CP,取AB中点F连接PF

PA+PC=2PE=BP

PB+PC=2PD=AP

PA+PB=2PF

三式相加

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF

3PA+3PB+2PC=2PF

6PF+2PC=2PF

PC=-2PF

所以PC,PF共线，PF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点P

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=OP+PD

OE=OP+PE

OF=OP+PF

OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

由第一问结论

2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP

2PA+2PB+2PC=0

1/2AP+1/2BP+1/2CP

所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP

向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

向量证明重心

三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD

(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。

2

设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0

3

如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

证明：用归一法

不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b

因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因为向量a和b线性无关，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

证毕!

4

设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3

设:AB的.中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3

5

如图。设AB=a(向量)，AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.

BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.

t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.

如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

证明：用归一法

不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b

因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因为向量a和b线性无关，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

证毕!

证明向量共面

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线

,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了~明白后加分!!!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2

充分不必要条件。

如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。

“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件

任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。

3

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线

,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的`关系式并比较OP分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+ Zc-Xa=0

∴ Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它们共面。

简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。详细的看高中课本

4

1.若向量e1、e2、e3共面，

(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.

即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.

2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，

就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,

于是e1,e2,e3共面。

向量法证明不等式

高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变. 若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的`运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.

设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

规定a・b=(x1，x2，…，xn)・(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a・b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有

由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.

一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即

例1设a，b，c∈R+，求证：(a+b+c)≤++≤.

证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

则由

综上，原不等式成立.

点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.

作单位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余边同理

在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为 BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得 i*BA+i*AC=0① 根据向量内积定义，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理 i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得 csinB-bsinC=0 所以b/sinB=c/sinC 类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB, 所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

用向量法证明

步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的`圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

2

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c

平方 (1)

向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d

平方 (2)

(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于P点

由三角形中位线定理有：

向量EP=向量BG

又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量PF=(向量AD+向量GC)

∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

4

先假设两条中线AD,BE交与P点

连接CP,取AB中点F连接PF

PA+PC=2PE=BP

PB+PC=2PD=AP

PA+PB=2PF

三式相加

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF

3PA+3PB+2PC=2PF

6PF+2PC=2PF

PC=-2PF

所以PC,PF共线，PF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点P

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=OP+PD

OE=OP+PE

OF=OP+PF

OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

由第一问结论

2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP

2PA+2PB+2PC=0

1/2AP+1/2BP+1/2CP

所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP

向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠P-ABC的三个面角∠BPC，∠CPA，∠APB所对的二面角依次为∠PA，∠PB，∠PC，则 Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

目录

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。 显然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。 另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。 则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。 同理可证Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得・

j・AC+CB=j・AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3

用向量叉乘表示面积则 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=>absinC = bcsinA (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA = c/sinC

-7-18 17:16 jinren92 | 三级

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

4

过三角形ABC 的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB 与向量AD 的夹角为90°-B ，向量AC 与向量AD 的`夹角为90°-C ，由于向量AB、向量AC 在向量AD 方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知 向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即 向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以 csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

各位专家评委大家好！

我是来自福海县第一高级中学的任燕，今天我说课的课题是《空间向量及其加减运算》，它选自人民教育出版社A版高中数学选修2-1“第三章空间向量与立体几何”的第一节内容。

我将从说教材、说学生、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计，六个方面陈述我对本节课的设计方案。恳请各位专家评委批评指正。

一、说教材：

1、地位和作用：

向量可以表示物体的位置，其本身也是一种几何图形（既有方向又有长度的线段），因而它成为几何学基本的研究对象；又因向量可以进行加减、数乘、数量积等运算，从而它又成为代数学的研究对象，因此可以说向量是最重要的数学模型，是链接代数与几何的桥梁。

用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而降低许多立体几何的解题难度，而且由于近几年高考命题倾向于新教材的改革，因此善于运用空间向量来解决立体几何的问题成为高考命题的热点之一,也是应考复习中不可忽视的一个重要问题。

本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。

2、教学的重点和难点：

根据教学大纲的要求我确定教学重难点如下：

教学重点：（1）空间向量的有关概念；

（2）空间向量的'加减运算及其运算律、几何意义；

（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用

教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

二、说学生

1、学情分析

由于学生已经有了一定的平面向量知识和立体几何的空间观念作为基础，在教学中可运用类比和归纳的方法让学生体验数学结构上的层次感和完整性。虽然空间向量是在平面向量的基础上的进行的推广，涉及的内容与平面中的类似，学生比较容易接受，但是在实际教学中应注意增加了维数所带给学生不利的影响。

2、教学目标：

新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该在获得知识与技能的过程中学会学习和树立正确价值观。因此根据《空间向量及其加减运算》在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：

知识与技能 （1）通过本节课的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何 体加深对运算的理解。

过程与方法 （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探

究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运

算及其运算律的意义。

（3）培养学生空间向量的应用意识

情感态度与价值观 通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现 数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。

三、说教法：

基于上面的分析，我根据自己对 “启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合本校学生实际，主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法。让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质。四是注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维。正如叶老师所说“教就是为了不教”。

四、说学法：

学生学习的过程实际上就是学生主动获取、整理、贮存、运用知识和获得学习能力的过程，因此，我觉得在教学中，指导学生学习时，应尽量避免单纯地、直露地向学生灌输某种知识和学习方法，注重培养学生学会通过自学、观察、类比等方法获取相关知识，使学生在探索研究过程中分析、归纳能力得到提高。

五、说教学过程

本着“学生是学习的主体”的教学理念，结合学生实际，对本节课的教学设计如下：

1、创设情境，引入新课

我将以三名学生从空间三个不同方向提拉一个物体这一生活实例出发，让学生感受向量在生活中的实际存在以及平面向量的局限性。接着用多媒体展示正方体同一个顶点上的三条棱表示的三个向量是空间向量而引出数学中的空间向量问题。

设计意图：让学生体会数学源于生活，并用于生活，提高学生的学习兴趣。

2、复习旧知，归纳新知

利用多媒体展示平面向量的相关问题帮助学生回忆相关知识，然后阅读教材内容，并根据这些问题对比平面向量和空间向量的异同点，请学生完成表格及填空。

设计意图：让学生体会类比和归纳的数学思想，并让学生充分体验自主学习的快乐。

3、例题示范，巩固基础

利用多媒体出示例题1。请学生独立完成，并说明理由。

例1：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

??????②若空间向量a,b满足a?b，则a?b；

?????????③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC?AC11；

???????????????④若空间向量m,n,p满足m?n，n?p，则m?p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中不正确的命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

设计{意图：让学生及时巩固基础知识，增加学习信心。

4、复习旧知，类比新知

引导学生复习近平面向量加减法，提出“空间中任意两个向量与平面内两个向量有什么关系”这一问题，通过类比的方法引出空间向量的加减法以及加法运算律。

设计意图：让学生理解空间向量的可平移性，知道空间任意两个向量都是共面向量，并

体会类比的数学思想，提高学习兴趣。

5、延伸拓展，知识升华

通过空间向量加法的三角形法则归纳出多个向量的加法原理

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； ??????????????????????????? A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An

（2）首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。

?????????????????????

A1A2?A2A3?A3A4???AnA1?0

设计意图：让学生进一步感受空间向量是平面向量的延伸和推广，体会空间向平面转化的思想。

6、例题示范，反馈练习

多媒体展示例2，学生先自己解答，然后让学生在黑板上展示自己的解答过程，师生共同点评。

例2如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式：

???????? (1)AA1?CB；

??????????????(2) AB1?BC11?C1D1； (3)

设计意图：让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。

自主练习1、在平面向量中，下列说法正确的是( )

A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等

B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同

C．如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等

D．同向且等长的有向线段表示同一向量

设计意图：巩固基础知识，深化概念 ?1????1????1???AD?AB?A1A. 222

???????????????2、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB?a，AD?b，AA1?c

?????则D1B等于( )

??????A．a?b?c B．a?b?c

???C．a?b?c ???D．?a?b?c

设计意图：让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。

7、课堂小结，布置作业

（1）小结：由学生回顾本节内容并作出总结。

设计意图:通过回顾，对概念的发生与发展过程有清晰的认识。

（2）作业：作业分为必做题和选做题，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与强化，注重知识的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．

我设计了以下作业：

（1）必做题：P97页第1题

（2）选做题：已知空间四边形ABCD，点M、N分别是边AB、CD的中点，

→→

化简AC＋AD－AB.

六、说板书设计

板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。

以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指正。

谢谢！

→

用向量证明线面平行

面垂直就是说直线是面的法向量。单位法向量当然平行这条直线，不过要排除与0向量的讨论。0向量与任何向量都平行。但0向量不垂直与面。

比如单位法向量是(x,y,z)直线的方向向量是m=(a,b,c)

那么m=a(x,y,z) 这不完全对。

比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗?

只能是a≠0是可以这样。

面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。

不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。

当然你要证明分别平行于两平面的直线平行，

或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。

2

三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z) 而(m,n,p )是在原点与平面的垂线的交点, 我们得

[(x,y,z) - (m,n,p) ] * (m,n,p) = 0

m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0

mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2

所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离

x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1) 这支向量

[1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0]

所以两直线的方向向量不平行

即两直线不平行

但是书后的'答案说两直线是平行的。。。

你确定题没有写错吗?

其实直线很简单

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3]

表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸

而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行

平行向量

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ >0时，λa的方向和a的方向相同，当λ

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算

用向量证明四点共面

由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz， 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得

OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)

即ZP =nZX +mZY

即P、X、Y、Z 四点共面。

以上是充要条件。

2

如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面

A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行 如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该平面内 用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点

面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内

三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的'方向向量矢量积为0

四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为0

3

怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面

简明地证明，网上的不具体，不要复制!

证明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP

将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

即：向量CP=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。

故：A，B，C，P四点共面。

4

可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去

证明： PA=BA-BP

=OA-OB-(OP-OB)

=OA-OP

=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC )

=(1-a)OA-bOB-cOC

=(b+c)OA-bOB-cOC

=bBA+cCA

到这里 因为ABC已经确定了一个平面 且 PA=bBA+cCA

所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内

所以四点共面

向量法证明正弦定理

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得・

j・AC+CB=j・AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3

用向量叉乘表示面积则 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=>absinC = bcsinA (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA = c/sinC

2011-7-18 17:16 jinren92 | 三级

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

4

过三角形ABC 的顶点A作BC边上的.高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB 与向量AD 的夹角为90°-B ，向量AC 与向量AD 的夹角为90°-C ，由于向量AB、向量AC 在向量AD 方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知 向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即 向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以 csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

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