向量坐标运算公式总结
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- 2024-06-03
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下面是小编为大家整理的向量坐标运算公式总结，本文共7篇，仅供大家参考借鉴，希望大家喜欢!
（第一课时）
一．教学目标
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.
二．教学重点 理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点 对平面向量坐标表示的理解．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．
（板书课题）平面向量的坐标运算
2．探索研究
（1）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使
我们把不共线的向全 、叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．
师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得
我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；
这就叫做向量的坐标表示
显然i＝（1，0） j＝（0，1） 0＝（0，0）
如图（1）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．
问题： 1°已知 (x1, y1) (x2, y2) 求 + ， - 的坐标
2°已知 (x, y)和实数λ, 求λ 的坐标
解： + =(x1 +y1 )+( x2 +y2 )=(x1+ x2) + (y1+y2)
即： + =(x1+ x2, y1+y2) 同理： - =(x1- x2, y1-y2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵ = - =( x2, y2) - (x1, y1)
=(x2- x1, y2- y1)
实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y) 实数λ
则λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？
生：a=b ．
（2）例题分析
【例1】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。
解：
师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？
（1）已知 ，求 、。
（2）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。
解：（1）
∴
（2）
∴
师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？
生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。
【例2】 已知 ，求 ， ， 的坐标。
解：
【例3】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为
由 得
由
∴顶点D的坐标为（2，2）
3．演练反馈。（投影仪）
（1）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。
（2）已知向量 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求
①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。
参考答案：
（1）
∴
（2）B．
（3）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。
②
若OABP为平行四边形，需
于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。
4．总结提炼
（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（2）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
五．板书设计
（第一课时）
一．教学目标
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.
二．教学重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点对平面向量坐标表示的理解．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．
2．探索研究
（1）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使
我们把不共线的向全 、叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．
师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得
我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；
这就叫做向量的坐标表示
显然i＝（1，0）j＝（0，1）0＝（0，0）
如图（1）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．
问题： 1°已知 (x1, y1) (x2, y2) 求 + ， - 的坐标
2°已知 (x, y)和实数λ, 求λ 的坐标
解： + =(x1 +y1 )+( x2 +y2 )=(x1+ x2) + (y1+y2)
即： + =(x1+ x2, y1+y2)
同理： - =(x1- x2, y1-y2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵ = - =( x2, y2) - (x1, y1)
= (x2- x1, y2- y1)
实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y) 实数λ
则λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？
生：a=b ．
（2）例题分析
【例1】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的.坐标。
解：
师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？
（1）已知 ，求 、。
（2）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。
解：（1）
∴
（2）
∴
师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？
生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。
【例2】 已知 ，求 ， ， 的坐标。
解：
【例3】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为
由 得
由
∴顶点D的坐标为（2，2）
3．演练反馈。（投影仪）
（1）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。
（2）已知向量 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求
①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。
参考答案：
（1）
∴
（2）B．
（3）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。
②
若OABP为平行四边形，需
于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。
4．总结提炼
（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（2）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
五．板书设计
1．平面向量的坐标定义。
（1）
（2）i、j的含义
（3） 是a的坐标
下学期 5.4平面向量的坐标运算2
（第二课时）
一．教学目标
1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；
二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．
教学难点向量与坐标之间的转化．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．
2．探索研究
（1）师：板书或投影以下4个习题：
①设 ，则
②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是 ．
③若M（3，－2），N（－5，－1）且 ，则点P的坐标为 ．
A．（－8，－1） B． C． D．（8，－1）
④已知A（0，1），B（1，2），C（3，4），则
参考答案：
（1）
（2）有且只有一个实数 ，使得 （3）B （4）（－3，－3）
师：如何用坐标表示向量平行（共线）的`充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）
生：设
师：很好！这就是说 的充要条件是 （板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．
（1）
（2）
（2）例题分析
【例1】 已知 ，且 ，求y．
解：∵
∴
∴
【例2】 已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），求证A、B、C三点共线．
证：
又 ，
∴
又∵直线AB和直线AC有公共点A
∴A、B、C三点共线
【例3】 若向量 与 共线且方向相同，求x．
解：∵ 共线，
∴
∴ ．
∵a与b方向相同，
∴
师：若 ，不合条件吗？
生：∵若 ，则
∴
∴a与b反向与已知符．
【例4】 已知点A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量 与平行吗？直线AB与CD平行吗？
师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．
生：用两向量平行的充要条件是
解：
又 2×2－4×1＝0，
∴ ．
又
且 2×2－2×6≠0，
∴ 与 不平行．
∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．
∴直线AB与CD平行．
3．演练反馈（投影）
（1）A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1）
求证： ．
（2）已知向量 且 ，则 等于（ ）
A．3 B． C． D．－3
参考答案：（1）先证 ，再证A、B、C、D四点不共线；（2）C
4．总结提炼
本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．
五．板书设计
课题
1．向量平行的坐标表示
（充要条件）
2．举例．
1．
2．
演练反馈
总结提炼
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 ab=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ??a?。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当?λ?>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ
当?λ?0)或反方向(λ
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=abcos〈a，b〉;若a、b共线，则ab=+-?a??b?。
向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。
向量的数量积的运算律
ab=ba(交换律);
(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的数量积的性质
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：?a×b?=absin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
这篇有关平面向量的公式的高中数学知识点总结，是小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!
[平面向量的公式的高中数学知识点总结]
问题1 练习1 例1 练习5
结论1 练习2
问题2 练习3
结论2 练习4
本节的说课内容到此结束，谢谢大家。
一、查找重复内容公式：=IF(COUNTIF(A:AA2)>1”重复””")。
二、用出生年月来计算年龄公式：=TRUNC((DAYS360(H6”2009/8/30″FALSE))/3600)。
三、从输入的18位身份证号的出生年月计算公式：=CONCATENATE(MID(E274)”/”MID(E2112)”/”MID(E2132))。
四、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别，可以输入以下公式：=IF(LEN(C2)=15IF(MOD(MID(C2151)2)=1”男””女”)IF(MOD(MID(C2171)2)=1”男””女”))公式内的“C2”代表的是输入身份证号码的单元格。
五、求和： =SUM(K2:K56) ——对K2到K56这一区域进行求和;
六、平均数： =AVERAGE(K2:K56) ——对K2 K56这一区域求平均数;
七、排名： =RANK(K2，K$2:K$56) ——对55名学生的成绩进行排名;
八、等级： =IF(K2>=85”优”IF(K2>=74”良”IF(K2>=60”及格””不及格”)))
九、学期总评： =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩;
十、最高分： =MAX(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最高分;
十一、最低分： =MIN(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最低分;
十二、分数段人数统计：
(1) =COUNTIF(K2:K56”100″) ——求K2到K56区域100分的人数;假设把结果存放于K57单元格;
(2) =COUNTIF(K2:K56”>=95″)-K57 ——求K2到K56区域95～99.5分的人数;假设把结果存放于K58单元格;
(3)=COUNTIF(K2:K56”>=90″)-SUM(K57:K58) ——求K2到K56区域90～94.5分的人数;假设把结果存放于K59单元格;
(4)=COUNTIF(K2:K56”>=85″)-SUM(K57:K59) ——求K2到K56区域85～89.5分的人数;假设把结果存放于K60单元格;
(5)=COUNTIF(K2:K56”>=70″)-SUM(K57:K60) ——求K2到K56区域70～84.5分的人数;假设把结果存放于K61单元格;
(6)=COUNTIF(K2:K56”>=60″)-SUM(K57:K61) ——求K2到K56区域60～69.5分的人数;假设把结果存放于K62单元格;
(7) =COUNTIF(K2:K56”
说明：COUNTIF函数也可计算某一区域男、女生人数，
如：=COUNTIF(C2:C351”男”) ——求C2到C351区域(共350人)男性人数;
十三、优秀率： =SUM(K57:K60)/55*100
十四、及格率： =SUM(K57:K62)/55*100
十五、标准差： =STDEV(K2:K56) ——求K2到K56区域(55人)的成绩波动情况(数值越小，说明该班学生间的成绩差异较小，反之，说明该班存在两极分化);
十六、条件求和： =SUMIF(B2:B56”男”，K2:K56) ——假设B列存放学生的性别，K列存放学生的分数，则此函数返回的结果表示求该班男生的成绩之和;
十七、多条件求和： {=SUM(IF(C3:C322=”男”IF(G3:G322=110)))｝ ——假设C列(C3:C322区域)存放学生的性别，G列(G3:G322区域)存放学生所在班级代码(1、2、3、4、5)，则此函数返回的结果表示求 一班的男生人数;这是一个数组函数，输完后要按Ctrl+Shift+Enter组合键(产生“{……｝”)。“{｝”不能手工输入，只能用组合键产生。
十八、根据出生日期自动计算周岁：=TRUNC((DAYS360(D3NOW( )))/3600)
———假设D列存放学生的出生日期，E列输入该函数后则产生该生的周岁。
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